清华大学材料力学范钦珊主讲 第三章 弹性杆件横截面上的 正应力分析

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1、Wednesday,June23,2021材料力学(I)返回主目录清华大学范钦珊弹性杆件横截面上的正应力分析第3章第3章引言正应力分析方法正应力公式的应用结论与讨论弹性杆件横截面上的正应力分析引言第3章弹性杆件横截面上的正应力分析1若干概念和定义2正应力分析的超静定性质3线弹性材料的物性关系引言1.若干概念和定义应力—分布内力在一点的集度F1FnF3F2引言工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。应力就是单位面积上的内力‗若干概念和定义引言正应力和切应力位

2、于截面内的应力称为“切应力”(ShearingStress).垂直于截面的应力称为“正应力”(NormalStress)；若干概念和定义引言lims=FNDDA®DA0limt=FQDAD®DA0yxzP1P2ΔADFRΔFQyΔFQzΔFN若干概念和定义引言线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为“正应变”(NormalStrain)和“切应变”(ShearingStrain),分别用和表示。正应变与切应变若干概念和定义引言问题：“正应变是单位长度的线变形量”？σσxxdxτσxσxdxuu+duτβα)(直角改变量bag+==dxdu

3、xe若干概念和定义引言2正应力分析的超静定性质当外力已知时，可由平衡方程求得内力分量—静定问题。当内力分量已知时，只能确定应力与相关内力分量之间的关系，却无法求得各点应力—超静定问题。引言正应力分析的超静定性质xyz一般情形下，应力与相应内力分量关系如下：MyMzFNò-=AzxMyA)d(sò=AyxMzA)d(sò=AxxFNAds引言正应力分析的超静定性质σxτxyτxzdAxyzMxFQyFQzòA(xzdA)y＝Mx+ò-A(xydA)zòAxzdA＝FQzòAxydA＝FQyσxτxyτxzdA引言正应力分析的超静定性质3.

4、线弹性材料的物性关系exxE=sxexE=tg=Gσxεxgt=Gτγ线弹性材料的物性关系引言胡克定律正应力分析方法第3章弹性杆件横截面上的正应力分析正应力分析方法1.平面假定与变形协调方程2.应变分布与应力分布4.正应力表达式3.应用静力学方程确定待定常数平面假定变形物性关系静力方程正应力分析方法应变分布应力分布应力公式1.平面假定与变形协调方程考察产生正应力的最一般情形，即FN、My、Mz同时作用的情形。正应力分析方法平面假定与变形协调方程平面假定正应力分析方法三种位移dx平面假定与变形协调方程正应力分析方法dxu0+du0u0FNx

5、FNxFNxFNx平面假定与变形协调方程正应力分析方法平面假定与变形协调方程正应力分析方法轴向位移du0绕y轴转动对于dx微段，在三个内力分量作用下，两截面将保持平面，但发生三种相对位移：绕z轴转动dydz平面假定与变形协调方程正应力分析方法dxu0+du0u0FNxFNx平面假定与变形协调方程正应力分析方法ud0ud=-y(dz)+z(dy)xyzdu0MyFNMz-y(dz)z(dy)平面假定与变形协调方程正应力分析方法uudd0zydq+yzdq-=变形协调方程根据叠加原理，横截面上任意一点(y,z)的位移，可表示为：此即变形协

6、调方程(CompatibilityEquationofDeformation)。平面假定与变形协调方程正应力分析方法2.应变分布与应力分布=udxd=xe0ezy-rz+yr微段横截面的相对位移，亦即微段各处的变形。于是横截面上任意点处的正应变为应变分布与应力分布正应力分析方法均为待定常数。0=ddux0e=ddxyy,rqr=ddxzzq此即横截面上各点正应变分布方程。其中应变分布应变分布与应力分布正应力分析方法sexxE=errzyEEyEz=-+0应力分布此即横截面上各点正应力分布方程。胡克定律，由应变分布得到横上一点处的正应力为应变分布与应力

7、分布正应力分析方法3.应用静力学方程确定待定常数xNAAFd=òsxzAAyMd=-ò()sxyAAzMd=ò()s将带有待定常数的应力公式代入与正应力有关的三个静力方程：正应力分析方法应用静力学方程确定待定常数整理后得到EAESESFzzyyN()()()err011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()err011-+-=11ESEIEIMyyzzyyy()()()err0-+=正应力分析方法应用静力学方程确定待定常数其中SzASyAyAzA==òòdd,静矩IzAIyAyAzA==òò22dd,惯性矩IyzAyzA=òd惯性积zy

8、EAESESFzyN()()()err011-+=ESEIEIMz