信息论与编码习题解答

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1、信息论与编码习题解答第一章1.一位朋友很不赞成“通信的目的是传送信息”及“消息中未知的成分才算是信息”这些说法。他举例说：我多遍地欣赏梅兰芳大师的同一段表演，百看不厌，大师正在唱的正在表演的使我愉快，将要唱的和表演的我都知道，照你们的说法电视里没给我任何信息，怎么能让我接受呢？请从信息论的角度对此做出解释。（主要从狭义信息论与广义信息论研究的内容去理解和解释）答：从狭义信息论角度，虽然将要表演的内容观众已知，但是每一次演出不可能完全相同。而观众在欣赏的同时也在接受着新的感官和视听享受。从这一角度来说，观众还是可以得到新的信息的。另一种

2、解释可以从广义信息论的角度来分析，它涉及了信息的社会性、实用性等主观因素，同时受知识水平、文化素质的影响。京剧朋友们在欣赏京剧时也因为主观因素而获得了享受，因此属于广义信息论的范畴。2．利用下图（图1.2）所示的通信系统分别传送同样时间（例如十分钟）的重大新闻公告和轻音乐，它们在接收端各方框的输入中所含的信息是否相同，为什么？图1.2通信系统的一般框图答：重大新闻是语言，频率为300~3400Hz，而轻音乐的频率为20~20000Hz。同样的时间内轻音乐的采样编码的数据要比语音的数据量大，按码元熵值，音乐的信息量要比新闻大。但是在信宿

3、端，按信息的不确定度，信息量就应分别对待，对于新闻与音乐的信息量大小在广义上说，因人而异。第二章1．一珍珠养殖场收获240颗外观及重量完全相同的特大珍珠，但不幸被人用外观相同但重量仅有微小差异的假珠换掉1颗。（1）一人随手取出3颗，经测量恰好找出了假珠，问这一事件大约给出了多少比特的信息量；（2）不巧假珠又滑落进去，那人找了许久却未找到，但另一人说他用天平最多6次能找出，结果确是如此，问后一事件给出多少信息量；（3）对上述结果作出解释。解：（1）从240颗珍珠中取3颗，其中恰好有1颗假珠的概率为：所以，此事件给出的信息量为：I=–lo

4、g2P=log280=6.32(bit)（2）240颗中含1颗假珠，用天平等分法最多6次即可找到假珠，这是一个必然事件，因此信息量为0。（3）按照Shannon对信息量的定义，只在事件含有不确定成分，才有信息量，并且不确定成分越大，信息量也越大，必然事件则没有信息量。但是从广义信息论的角度，如果那个人不知道用天平二分法找假珠，另一个告诉他这个方法，使他由不知道到知道，也应该含有一定的信息量。2．每帧电视图像可以认为是由3´105个象素组成，所有象素均独立变化，且每一象素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平等概率出现。问每帧图像含有

5、多少信息量？如果一个广播员在约10000个汉字的字汇中选取1000个字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，且彼此独立）？若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需用多少汉字？解：由于每一象素取128个不同的亮度电平，各个亮度电平等概率出现。因此每个亮度电平包含的信息量为I(X)=–lb(1/128)=lb128=7bit/像素每帧图像中像素均是独立变化的，因此每帧图像信源就是离散亮度电平信源的无记忆N次扩展。由此，每帧图像包含的信息量为I(XN)=NI(X)=3´105´7=2.1´1

6、06bit/帧广播员在约10000个汉字中选取字汇来口述此电视图像，各个汉字等概分布，因此每个汉字包含的信息量为I(Y)=–lb(1/10000)=lb1000=13.29bit/字广播员述电视图像是从这个汉字字汇信源中独立地选取1000个字进行描述，因此广播员描述此图像所广播的信息量是I(YN)=NI(Y)=1000´13.29=1.329´104bit/字由于口述一个汉字所包含的信息量为I(Y)，而一帧电视图像包含的信息量是I(XN)，因此广播员要恰当地描述此图像，需要的汉字数量为：字3．已知X：1,0P(X)：p,1–p（1）求

7、证：H(X)=H(p)（2）求H(p)并作其曲线，解释其含义。（1）证明：H(X)=I(X1)+I(X2)=–plbp–(1–p)lb(1–p)=H(p)（2）解：该H(p)曲线说明，当0与1等概出现时，即p=0.5时，熵最大。当p由0.5分别趋向于0和1时，熵逐渐减小至0。4．证明H(X3

8、X1X2)£H(X2

9、X1)，并说明等式成立的条件。证明：设离散平稳信源输出的随机符号序列为…X1,X2,X3,…。又设,,,而且都取自于同一符号集，并满足有在区域[0，1]内设f(x)=－xlogx,f(x)在[0，1]内是型凸函数，所以满足詹

10、森不等式其中现今,设其概率空间为，并满足所以根据詹森不等式得所以上式对所有的取值都成立，所以因为，所以上式两边相乘，等号不变。有上式对所有都成立，所以对所有求和下式也成立因为H(X3

11、X1X2)£H(X3

12、X2)所以是平