2012答案 拓扑学基础a

《2012答案 拓扑学基础a》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、装订线装订线内不要答题学号姓名班级东北大学秦皇岛分校课程名称：拓扑学基础（答案）试卷：A考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学考试日期：2012年6月试卷：共3页题号一二三总分得分阅卷人一、填空题：（每空2分，共34分）1．设，写出5个拓扑平凡拓扑，离散拓扑，，，。（注：答案不唯一，正确即可）2．设拓扑空间，它的拓扑为，设为的一个子集。则的导集是的闭包是X。3．叙述同胚映射的定义拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的。4．写出紧空间的定义及三条性质：若一个拓扑空间的任何开覆盖都包含一个有限的子覆盖，则称这个拓扑空间为紧空间（1）紧空间的

2、连续像是紧的（2）紧空间的闭子集是紧致的（3）紧空间中的无穷点集必有聚点（注：答案不唯一，正确即可）5.汉字“侣”的连通分支的个数是3，双曲线的连通分支的个数是2。6．数字4中的被去掉后仍能使其连通的点的个数是无穷。7．字母A的割点个数为无穷。字母B的割点个数为1。二、问答题：（共36分）1.叙述拓扑空间的定义并给出既不开又不闭的集合的例子。（10分）答：集合上的一个拓扑是由的子集构成的子集族，即，其中是一个指标集。它们满足三个条件：1．集合与空集在中。2．中任意多个集合的并集在中。3．中有限多个集合的交集在中。定义了拓扑的集合称为拓扑空间。（7分）令，取拓扑为，则

3、{2}是既不开又不闭的集合。（10分）注：例子不唯一，正确即可。2.叙述空间、空间的定义以及连通空间的三条等价定义。（15分）答：设是Hausdorff空间，若任一点与不包含它的任意闭集有不相交的开邻域，则称其为空间；设是Hausdorff空间，若任两个不相交的闭集有不相交的开邻域，则称其为空间；设是拓扑空间。若它分解成两个非空子集、的并时，有或，则称是连通空间。一个没有既开又闭的非空真子集的拓扑空间称为连通空间。一个拓扑空间若不能表示称两个不相交的非空开集的并则称为连通空间。注：每条定义3分。连通空间的定义还可以有不同于上述三条的表述。-3-装订线装订线内不要答题

4、学号姓名班级3．装订线装订线内不要答题学号姓名班级简述克莱因瓶的定义。（6分）答：在单位正方形上定义等价关系：，（x,0）与（x,1）等价，（0,y）与（1,1-y）等价则商空间称为克莱因瓶。4.谈谈你对拓扑学中商空间的思想的认识。（10分）注：无唯一标准答案。三、证明题：（每小题10分，共30分）1.叙述并证明连续映射的粘接引理。答：粘接引理设是拓扑空间的一个有限闭覆盖，若在每个上的限制都连续，则是连续映射。（4分）证明：只要验证的每个闭集的原像是闭集。（6分）设是的闭集，记是在上的限制。则。由连续，是中的闭集，又是的闭集，所以是中的闭集。所以作为有限个闭集的并也

5、是闭集。（10分）-3-装订线装订线内不要答题学号姓名班级2.证明Hausdorff空间中的紧致子集是闭集。证明：设是Hausdorff空间，是的紧致子集。现证是开集。（3分）设是任取的中元素，对于任意的中元素，由是Hausdorff空间，则分别存在与的不相交的开邻域与。显然是的开覆盖。由的紧致性，存在有限的子覆盖。记，，则是的开邻域，且。从而（7分）因为，所以。我们得到。这说明是它每一点的邻域，从而是开集。也即是闭集。（10分）3．设是商映射，证明存在一个等价关系，使得与同胚。证明：对任意的，定义。记中元素的等价类为。定义映射需要验证定义的合理性（过程略）。（4分

6、）现说明是一一对应。先证明是单射。设，则，从而。再说明是满射。对任意的中元素，由是满射，有，使得。从而。（6分）现说明连续。实际上，连续等价于连续。由于是连续的，从而连续。现说明连续。实际上，由于是商映射，从而连续等价于投影映射连续。从而连续。这样我们证明了是同胚映射。（10分）-3-