泰勒公式及其在在计算方法中的应用

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1、共16页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第16页泰勒公式在计算方法中的应用作者姓名：陈琳琳河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2005级1班摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分§1引言泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成

2、幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.§2泰勒（Taylor）公式定理1设函数在点处的某邻域内具有阶导数,则对该邻域内异于的任意点,在与之间至少存在一点,使得：(1)指导老师：王振辉学生：陈琳琳共16页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第16页其中（2）公式（1）称为按的幂展开的带有拉格朗日型余

3、项的阶泰勒公式,的表达式（2）称为拉格朗日型余项.定理2若函数在点存在直至阶导数,则有(3)公式(3)称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式,形如的余项称为佩亚诺型余项.特别地：在泰勒公式(1)中,如果取,则在0与之间,因此可令从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm）公式:（4）在公式(3)中,如果取,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：(5)§3泰勒公式的求法（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法只要知道在处n阶可导，就存在=带佩亚诺余项的阶泰勒公式。指导老师：王振辉学生：陈琳琳

4、共16页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第16页（1）直接求法：通过求……而求得;例如求：等（2）间接求法：利用已知的泰勒公式，通过一些运算求得。基本根据：泰勒公式的唯一性。设在处的阶可导，且……()①……。()②将①②式相减得：()令将上式两边同除以(),令其余类似可得。方法：四则运算，变量替换，逐项积分§4泰勒公式在计算方法中的应用（4.1）泰勒公式在误差估计中的应用指导老师：王振辉学生：陈琳琳共16页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第16页在研究学习过程中，由于物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者

5、的疏忽，绝大多数的数值计算结果都会有误差，通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差，同时减少计算的复杂程度。泰勒公式在误差估计中应用就显得十分突出。下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab进行比较，展示泰勒公式计算的方便与精确。例1设有，将被积函数展开为泰勒级数，并取前六项得：用代替被积函数时再积分所得的近似值：0.544977678571且0.94256130<0.5，实际上近似真值时有4位有效数字。，曲线如图所示。在编辑窗口输入如下命令：x=0:0.01:1.5;y1=exp(x.^2);y2=1+x.^2+0.5*x.^

6、4+1/6*x.^6;plot(x,y1,x,y2);legend('exp(x.^2)','1+x.^2+0.5*x.^4+1/6*x.^6');grid指导老师：王振辉学生：陈琳琳共16页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第16页有限代替无限所产生的误差图由图可知，泰勒公式在泰勒公式在误差估计中所产生截断误差非常小。下例通过用泰勒公式求得的数值与实际数值之间的误差界，可知泰勒公式在误差计算中的精确度较高。例2估计近似公式的绝对误差.解设,则因为所以带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：指导老师：王振辉学生：陈琳琳共1

7、6页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第16页从而：.（4.2）泰勒公式在函数值估测及近似计算中的应用泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶导数……相联系起来。例3设函数在上存在二阶导数,并且当时,有,证明：,.证明对,由泰勒公式,将在展开为：将在展开为：两式相减得从而有指导老师：王振辉学生：陈琳琳共16页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第16页所以.有了函数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数值可以近似地利用这个技术按精确度要求计算出来的。例

8、4求的近似值解令,则所以从而由公式（4）1+故指导老师：王振辉学生：陈琳琳共16页河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文第16页从而=误差（4.3）泰勒公式在数值积分中的应用设为的原函数，由牛顿—莱布尼兹公式知，对定义在区间上的定积分，有：但是