电类高等数学电子教案第十三章 习题解答

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1、第十三章无穷级数练习题13.11．判别下列数项级数是否收敛:（1）；（2）．解：（1），，，所以收敛于；（2）级数是一个公比为的等比级数，其收敛于．2．判别下列数项级数是否收敛:（1）；（2）．解：（1），由级数收敛的必要条件知，此级数发散；（2），由级数收敛的必要条件知，此级数发散．3．试把循环小数化为分数．解：这是公比为的等比级数．此级数收敛于，所以．练习题13.21．讨论下列正项级数的敛散性．（1）；（2）．解：（1），而级数是收敛的，所以原级数是收敛的；（2），而级数是发散的，所以原级数是发散的．2．讨论下列正项级数的敛散性．（1）；（2）．解：（1），级数发

2、散；（2），级数收敛．3．证明级数收敛．解：级数的通项为，而是收敛的，所以级数收敛．练习题13.31．判别下列数项级数是否收敛：（1）；（2）．解：（1）是一个交错级数，显然且，所以级数收敛；（2）是交错级数，且所以由莱布尼茨判别法得收敛．2．判别下列数项级数是否收敛，是否绝对收敛:（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）对应的绝对值级数为．由于，所以收敛，从而绝对收敛；（2）对应的绝对值级数为．由于，而是公比为的等比级数，是收敛的，所以收敛，从而绝对收敛；（3）对应的绝对值级数为，这是的级数，是收敛的，所以绝对收敛；（4）对应的绝对值级数为，这是的级数，是发散的，

3、而是收敛的，所以条件收敛．3．考察对应的绝对值级数，解：收敛．从而当为任何值时，级数都绝对收敛.练习题13.41．试计算幂级数的收敛域及和函数．解：是公比为的等比数列，所以在是收敛的，即收敛域为，其和函数为．2．求幂级数的和函数．解：设，两边积分得两边求导得；所以，．练习题13.51．求下列幂级数的收敛半径：（1）；（2）．解：（1），所以；（2）,所以．2．求幂级数的收敛半径．解：，当，即时，所给级数绝对收敛；当，即时，所给级数发散．因此所给幂级数的收敛半径．3．求幂级数的收敛区间和收敛域．解：令，则化为，，，所以的收敛区间为．由得，，从而，所以的收敛区间为．当时，

4、幂级数化为，是发散的，当时，幂级数化为，是收敛的．所以的收敛域为．练习题13.61．写出的阶麦克劳林公式．2．用直接展开法求的阶麦克劳林展开式练习题13.61．由得当时有．．．．．．从而得，，，．．．，根据公式(13.7)得的阶麦克劳林公式为（其中在与之间）．2．由，可推出，当取时，依次循环地取,从而得到的麦克劳林级数为，它的收敛半径.麦克劳林公式的余项为（在与之间）因为≤(时)，于是得麦克劳林展开式练习题13.71．求函数的麦克劳林展开式．解：因为，两边积分，当时，收敛；时，收敛，所以，2．将函数展开成的幂级数，并求收敛域．解：将函数展开成的幂级数,并求收敛域.，由

5、得收敛域为．3．求的近似值，精确到．解：利用幂级数展开式，，所以只需取前两项即可．．练习题13.81．一矩形波的表达式为，为整数求的傅里叶级数展开式．解：由收敛定理知，当(为整数)时，的傅里叶级数收敛于当时，级数收敛于．下面计算傅里叶系数，，的傅立叶展开式为．2．函数以2为周期，在上的表达式是=，．求的傅里叶级数展开式．解：，由定理13.12直接计算傅里叶系数，得，，，于是．练习题13.91．函数以为周期，在上的表达式是=，．求的傅里叶级数展开式．解：在上处处连续，且是偶函数．，由此得的傅立叶展开式为2．函数，试将其展开为傅里叶级数．解：由于为偶函数，故其傅里叶级数为

6、余弦级数．故所求傅里叶级数收敛于，即3．把展开成正弦级数．解：对函数进行奇延拓，下面求．所以所求展为正弦级数为：，在端点及处，级数的和为零，它不代表原来函数的值．习题十三1．判定下列级数的敛散性，对收敛者求出其和．（1）；（2）；（3）；（4）．1．解：（1），由级数收敛的必要条件得原级数发散；（2），，，所以收敛于；（3）发散，收敛，所以发散；（4），由级数收敛的必要条件得原级数发散．2．用比较判别法判定下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），而收敛，收敛，所以收敛；（2），而发散，所以发散；（3），而是去掉前两项的调和级数，是发散的，所以发散

7、；（4），而是收敛的，所以收敛．3．用比值判别法判定下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1），级数收敛；（2），级数发散；（3），级数收敛；（4），级数发散．4．判别下列交错级数是否收敛；如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）对应的绝对值级数为，而是收敛的，所以绝对收敛；（2）的通项的极限是不存在的，所以此交错级数是发散的；（3）满足莱布尼茨条件，是收敛的，其绝对值级数为，而，又是发散的，所以是发散的，所以原级数条件收敛；（4）的绝对值级数为，由知是收敛的，所以绝对收敛．5．利用逐项求导或