高考数学一轮复习热难点精讲精析2.11导数及其应用

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1、高考一轮复习热点难点精讲精析：2.11导数及其应用一、变化率与导数、导数的运算（一）利用导数的定义求函数的导数1、相关链接（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：①求函数的增量；②求平均变化率；③得导数，简记作：一差、二比、三极限。（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。2、例题解析〖例1〗求函数y=的在x=1处的导数。解析：〖例2〗一质点运动的方程为。（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）14分析（1）平均速度为；（2）t=1时的瞬

2、时速度即在t=1处的导数值。解答：（1）∵∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,.（1）定义法：质点在t=1时的瞬时速度（2）求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。（二）导数的运算1、相关链接（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：①分析函数的结构和特征；②选择恰当的求导法则和导数

3、公式求导；③整理得结果。（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。（3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。2、例题解析

4、14〖例〗求下列函数的导数。思路分析：本题考查导数的有关计算，借助于导数的计算公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得.解答：(1)方法一：由题可以先展开解析式然后再求导：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，∴y′=(6x3+2x2-3x-1)′=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′=18x2+4x-3.方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导：y′=(2x2-1)′(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)′=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：(3)根据求导法则

5、进行求导可得：y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln3e-2xln2(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：14(5)设μ=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=μ5与μ=3-2x复合而成，所以y′=f′μ·μ′x=(μ5)′·(3-2x)′=5μ4·(-2)=-10μ4=-10(3-2x)4.规律总结：一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形

6、式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层，直到求到最里层为止.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.（三）导数的几何意义【例】已知曲线，（1）求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2）求曲线过点P(2,4)的切线方程；（3）求斜率为4的曲线的切线方程。思路分析：“该曲线过点P(2，4)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点.解答：（1）上，且∴在点P(2,4)处的切线的斜率k==4;∴曲线在

7、点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率，∴切线方程为（）=（-），即∵点P(2,4)在切线上，∴4=2，即，∴，∴（x0+1）(x0-2)2=0解得x0=-1或x0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.（3）设切点为（x0,y0）则切线的斜率为k=x02=4,x0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即4x-y