7大晶系的弹性模量矩阵元

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1、关于弹性常数的计算-弹性模量矩阵元  2010-06-2910:44:06

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4、字号 订阅最近又开始辗转计算NH3BH3的弹性常数了。还是VASP软件,首先还是很感谢论坛上的各位前辈:)在计算弹性常数时,还是参考的是侯老师的指南,最近很迷恋这个。下面先转载一篇别人的日志:关键词:第一性原理计算(First-principlescalculations)刚度矩阵(Stiffnessmatrix)晶系(Latticesystem)1.弹性模量矩阵元对于足够小的变形,由胡克定律(Hooke'sLaw)可知,应力与应变成正比,即应力

5、分量是应变分量的线性函数,用矩阵的形式可以表示为:T1 C11C12C13C14C15C16 S1T2 C12C22C23C24C25C26 S2T3=C13C23C33C34C35C36?S3T4 C14C24C34C44C45C46 S4T5 C15C25C35C45C55C56 S5T6 C16C26C36C46C56C66 S6式中Cij就是我们通常所说的弹性模量,可以证明,上述刚度矩阵为对称阵,Cij=Cji,因此,弹性模量的独立张量元数目至多只有21个。晶系的对称性越高,独立的张量元数目就越少。需要指出的是,Cij的数目只与晶系有关,而

6、与晶系中具体的对称类型无关。下面分别讨论七种不同晶系的弹性模量矩阵元:1.1三斜晶系(Triclinicsystem)三斜晶系是所有七大晶系中对称性最低的晶系,因此拥有最多的独立矩阵元,其形式为:C11C12C13C14C15C16C12C22C23C24C25C26C13C23C33C34C35C36C14C24C34C44C45C46C15C25C35C45C55C56C16C26C36C46C56C66共有21个独立的刚度矩阵元,求解过程也因此较为复杂。1.2单斜晶系(Monoclinicsystem)C11C12C1300C16C12C22

7、C2300C26C13C23C3300C36000C44C450000C45C550C16C26C3600C66考虑对称性后,单斜晶系有11个独立的矩阵单元。1.3正交晶系(Orthorhombicsystem)C11C12C13000C12C22C23000C13C23C33000000C44000000C55000000C66从上式可以看出,正交晶系拥有相当高的对成性,其独立刚度矩阵元的数目为8个。1.4四方晶系(Tetragonalsystem)1.4.1四方晶系(4,-4,4/m)对于具有4,-4,4/m对称操作的四方晶系,其弹性矩阵的形式

8、为:C11C12C1300C16C12C22C2300-C16C13C23C33000000C44000000C440C16-C16000C66其独立刚度矩阵元的数目也为8个。1.4.2 四方晶系(422,4mm,-42m,4/mmm)对于具有422,4mm,-42m,4/mmm对称操作的四方晶系,其弹性矩阵的形式为:C11C12C13000C12C11C13000C13C13C33000000C44000000C44000000C66独立刚度矩阵元的数目仅为6个。1.5 三角晶系(Trigonalsystem)1.5.1三角晶系(3,3)C11C

9、12C13C14C150C12C11C13-C14-C150C13C13C33000C14-C140C440-C45C15-C1500C44C14000-C45C14(C11-C12)/2三角晶系(3,3)的独立刚度矩阵元的数目为8个。1.5.2三角晶系(32,3m,32/m)C11C12C13C1400C12C11C13-C1400C13C13C33000C14-C140C44000000C44C140000C14(C11-C12)/2三角晶系(32,3m,32/m)的独立刚度矩阵元的数目为6个。1.6 六角晶系(Hexagonalsystem)

10、C11C12C13000C12C11C13000C13C13C33000000C44000000C44000000(C11-C12)/2六角晶系共有5个独立的刚度矩阵元。1.7 立方晶系(Cubicsystem)C11C12C12000C12C11C12000C12C12C11000000C44000000C44000000C44立方晶系是所有晶系中对称度最高的晶系,其独立的刚度矩阵元数目仅为3个。 至此,我们列出了所有七大晶系的刚度矩阵元,只要求出各晶系对应的所有独立矩阵元,即可得到晶体的刚度矩阵。

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