小九九”里蕴含的大智慧

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1、“小九九”里蕴含的大智慧[2009-11-279:38:53]作者：李永军 《九九乘法歌诀》，又常称为“小九九”。现在学生学的“小九九”口诀，是从“一一得一”开始，到“九九八十一”止，而在古代，却是倒过来，从“九九八十一”起，到“二二得四”止。因为口诀开头两个字是“九九”，所以，人们就把它简称为“九九”。大约到13、14世纪的时候才倒过来像现在这样“一一得一……九九八十一”。 多少年来，有许多人都认为这太平常了。其实，里面蕴含的大智慧早就在中国历史乃至世界历史的长河担纲相当重要的角色了。中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战

2、国策》等书中就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在“春秋”、“战国”的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。所谓“九九”，最早是作为九九乘法口诀的称谓。这九九歌诀，散见于《淮南子》、《管子》、《荀子》、《吕氏春秋》、《战国策》、《灵枢经》、《易纬•乾凿度》、《孝经》、《大戴礼记》、《史记》索隐、《史记》正义、《贾谊新书》、《孔子家语》、《穆天子传》、《逸周书》、《礼记•礼运》、《内经素问》、《春秋繁露》、《前汉书》等书中，如：《荀子》、《战国策》中有“九九八十一”。  《淮南子

3、》、《孔子家语》、《大戴礼记》、《易•本命》中有“三三九”。  《管子》中有七乘全部：“七七四十九，六七四十二，五七三十五，四七二十八，三七二十一，二七十四。”《淮南子》和《孔子家语》中有九乘全部：“九九八十一，八九七十二，七九六十三，六九五十四，五九四十五，四九三十六，三九二十七，二九十八。”若把敦煌及居延所遗汉代“九九术”之残简与敦煌旧抄本《算书》合并，则古九九歌诀有：“九九八十一，八九七十二，七九六十三，六九五十四，五九四十五，四九三十六，三九二十七，二九十八；八八六十四，七八五十六，六八四十八，五八四十，四八三十二，三八二十四，二八十六

4、；七七四十九，六七四十二，五七三十五，四七二十八，三七二十一，二七十四；六六三十六，五六三十，四六二十四，三六十八，二六十二；五五二十五，四五二十，三五十五，二五十；四四十六，三四十二，二四八；三三九，二三六，二二四。” 以上共36句，以后又把“一九如九”、“一八如八”、“一七如七”等9句加入，共45句。早期的“九九术”，一开始就是九九，由九九迄一一，故称九九。大约在四五世纪的《孙子算经》中，解释九九算法时仍采用自九九迄一一。但从宋、元时代起，“九九术”次序是由“一一如一”至“九九八十一”，将古代的颠倒过来，与我们现在采用的乘法口诀完全一致。“数之法出于圆

5、方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”。这是我们的祖先经过长期实践和思索而总结出的“数之所生”之道，是先人提炼出来的十分宝贵的数学思想精粹。在阐述古人看待“数之所生”时，是将数与形结合起来进行认识的。点、线、面，方和圆，这些几何形体（其作图工具有规与矩）都具有怎样的数量关系呢？我们认为，古人了解其性质是从接触和掌握面积及其算法开始的。当然，其对象是方和圆。但最早的应该是方，然后再到圆。方形面积较早就获得准确的算法，这是由于它的边是直的缘故；而圆由于其边是曲的，获得对其面积的算法人类要走更长的路程。面积、体积的“积”，在人类古代数学的起源和发展中扮演着十

6、分重要的角色，它也是我国古代思维方式中将数与形结合起来进行考察的非常好（也是非常自然）的载体。积有堆垒、累积的含义，《易•升》：“君子以顺德，积小以高大”；也有聚、积蓄的含义，《诗•周颂•载芟》曰：“载获济济，有实其积，万亿及秭”；在算学中，乘得之数曰积，如2×2＝4，4称为积。在古代，我国“积”又常常用“幂”来代言。如刘歆制做王莽量器时，用“幂”表示量器的底面积；《九章算术》刘徽注中以幂表示面积（“此积为田幂”）；后来，王孝通在《缉古算经》中有以幂表示面积的（第二问第一术“隅阳幂”），也有以幂表示“平方”的（第二问第二

7、术“又以高幂乘之”）；一直到明、清时代，既有称积为幂的，也有称平方或立方为幂的。《说文解字》中称“幂，覆也。从一下垂也。”幂的原意是遮盖东西所用的布，可理解为表皮或表面。李注称：“幂是方面单布之名，积乃众数聚居之称。……凡言幂者，据广从之一方，其言积者，举众步之都数。”即幂是由一边伸展而成的方（面）面（方），积是用单位量得的总数。可见，不管是“积”或是“幂”，那种数与形结合起来研究数学的思想，在我国古代是很早就已萌发并且在后来得到普遍的发展。因此，这“九九八十一”说的是面积，这面积的大小是八十一；这八十一是由宽（广）是九、长（从）是九组成的方得来的，而它又

8、是有数字运算规律的：9×9＝81。物之方者，皆有四隅，《论语