二维势流理论及复变函数的应用

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1、第四章二維勢流理論及複變函數的應用1.複變數複變數(Complexvariable)Z可表示為Z=x+iy，i==reiq式中，直角座標(xy)和極座標(n,q)的關係為r=，q=tan-1複變數基本的數學運算如下：Z=Z1±Z2=(x1±x2)+i(y1±y2)Z=Z1Z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)=(r1e)(r2e)=r1r2eZ+=(x+iy)+(x-iy)=2xZ-=(x+iy)-(x-iy)=2iyZ×=(x+iy)×(x-iy)=x2+y2Zn=(reiq)n=rneinqlnZ=ln(reiq)=lnr+iqyZ=Z1

2、Z2Z1+Z2Z2q2qZ1q1-q1x1.複變函數複變函數(Complexfunction)可表示為w=f(Z)=f(x+iy)=f(x,y)+iy(x,y)式中，f(x,y)和y(x,y)為任意實函數。複變函數的導數可表示為=f¢(Z)º=+i(先Dy=0，再Dx®0)=-i+i(先Dx=0，再Dy®0)上式的結果，說明了複變函數為解析函數(analyticfunction)的意義，即複變函數的實數部份，f(x,y)，和虛數部份，y(x,y)，必須滿足柯希-黎曼條件(Cauchy-Riemanncondition)。即=和=-對上兩式的微分，可進一步得到

3、f和y的拉普拉斯(Laplace)方程式，即+=Ñ2f=0及+=Ñ2y=0因此，複變函數即為解析函數，它具有連續性及可微分的特性，且其實數部份和虛數部份均為拉普拉斯方程式的解，故均可稱為勢函數或是諧調函數(harmunicfunction)。從上一章討論二維、不可壓縮的勢流中，分別存在流場的勢函數和流函數。若以f(x,y)和y(x,y)分別表示流場的勢函數和流函數，則知Ñ2f=0和Ñ2y=0以及速度分量為u==v==-顯然地，上兩式u，v的關係，表示出滿足柯希-黎曼條件。因此，如以二維、不可壓縮勢流的勢函數f(x,y)和流函數y(x,y)，分別代表複變函數的

4、實數部份和虛數部份，則可定義該平面流動的複變勢函數(Complexpotential)，即W(Z)=f(x,y)+iy(x,y)即其導數即為複變速度=+i=u-iv而物理速度為=-i=u+iv1.基本流場茲以複變函數表示幾種二維、不可壓縮、無施性平面流場的複變勢W(Z)，其實數部份和虛數部份分別為流場的勢函數f和流函數y。(1)均勻流設+x軸向的水平均勻流的U¥勢函數為W=f+iy=U¥Z=U¥(x+iy)=U¥r(cosq+isinq)所以，f=U¥x=U¥rcosqy=U¥y=U¥rsinq若均勻流U¥具有攻角a，或與+x軸向形成a角，而逆時鐘的a角為正

5、，則W=U¥e-iaZ其複變速度為=U¥e-ia=U¥r(cosa-isina)=u-iv由上知，具攻角a均勻流的速度分量(u,v)為u=U¥cosav=U¥sina(1)源流假設源點在座標原點Z=0，而其單位寬度源流的強度為K[L2T-1]，則W=lnZ=ln(reiq)=[lnr+iq]故流場的勢函數和流函數，分別為f=lnry=q若源流的原點在Z=Z0時，則W=ln(Z-Z0)(2)自由渦漩流如渦漩流是一種無旋流動，則此種渦漩流稱為自由渦漩(freevortex)或無旋渦流(irrotetionalvortex)。若流場環量的強度為G[LT-1]，順時

6、鐘方向為正，則以原點為中心的自由渦漩流的複變勢為W=-ilnZ=q-ilnr若自由渦漩流的中心在Z0處，則W=-iln(Z-Z0)式中Z-Z0=r0而r0=q0=tan-1(1)流偶(或偶極子)若流偶的強度為B[L3T-1]，作用位置在原點，其方向與+x軸的夾角為a，則該流偶所產生流場的複變勢為W=-eia=-ei(a-q)若流偶的方向朝-x軸向，則a=p，故W==e-iq若流偶的作用位置在Z0，其朝向與+x軸成a角，則其複變勢為W=-eia1.契可夫斯基轉換式轉換式(transformation)的函意表示兩個平面間，圖形的轉換或映象(mapping)關係

7、。若經某一轉換式，甲平面上的圖形一點對一點地映象(one-one-mapping)在乙平面，而且圖形邊界的夾角都能和保持相同(角度的大小和方向)，則稱此種轉換為保角轉換(conformalmapping)。若兩平面間的轉換不能一點對一點互映，則那些不能互映的點上，就不能具有保角轉換的特性。契柯夫斯基轉換式在低速空氣動力學的理論中甚為重要，它能將在甲平面上的正圓或偏心圓，轉換成乙平面上的直線，橢圓或各種翼剖形。本節中先討論正圓的轉換情形。契柯夫斯基轉換式是Z=Z1+式中，Z和Z1分別表示Z平面和Z1平面上的複變數，而b為正實數。若將Z和Z1的複變數分別代入e式

8、，可得Z和Z1平面的關係式：x=x1(1+)y=y1