仅圆规作图——无尺之圆

《仅圆规作图——无尺之圆》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第三十八届中小学科学展览会作品说明书封面科　　别：数学科组　　别：国中组作品名称：无尺之图－只用圆规的作图关键词：圆规作图、compassalone编号：18无尺之图—只用圆规的作图摘要：数学课本在标尺作图之后，提到了拿破仑用圆规四等分圆周，老师又说标尺作图可以作的事，圆规作图也可以作出来。我实在非常惊讶所以便开始进行圆规作图的研究。我先将搜集到的资料中已经研究过的圆规作图，依序模拟研究一遍，并加以证明。再将平常标尺作图的一些图，只用圆规在绘图软件GSP上作图。借着实际作图，我验证了圆规作图的可行性。不过也体会圆规作图的复杂，所以每次挑战出一种图形之后，实在太有成就感！

2、整个研究提升了我的几何功力，这是我最大的收获。壹、研究动机：康轩课本二下介绍完标尺作图之后，有一页提到拿破仑只用圆规将一给定圆的圆周四等分，他的作法非常特别，吸引了我们的兴趣。加上老师又说数学家已经研究出标尺作图可以作的事，圆规作图也可以作出来。我们实在非常惊讶所以便开始进行圆规作图的研究。貳、研究目的：将我们课程中常作的标尺作图，不用尺只用圆规作出来！(若结果为一直线，则只须找出此直线上的任意两点即可)參、研究器材：圆规、笔、纸、Cabri(展示用软件)、GSP(书面报告绘图用软件)、一颗清楚的头脑18壹、研究大纲：我们先将资料中已经研究过的圆规作图，依以下顺序仿真研

3、究一遍：一、等线段作图二、对称点作图三、垂直作图四、平行四边形作图五、反演点作图六、等分线段作图七、第四比例项作图八、弧中点作图九、圆与直线交点作图十、两直线交点作图上列的十项作图法，已经完成所有标尺作图可以做到的图，接着我们研究课程中常做的作图：十一、找在线其他点十二、找圆心十三、作垂足十四、作角平分线十五、作正方形十六、作垂心十七、作重心十八、作内心十九、作外心二十、作五边形二十一、作九点圆18研究过程：我们先订定A(BC)为以A为圆心，BC为半径的圆。一、给定A,B两点，做出AB的任意整数倍。(一)方法：做B(AB)和A(AB)交于一点C做B(AB)和C(BC)交

4、于一点D做B(AB)和D(BD)交于一点E则AE=2AB将B当做原A，E当做原B，则可做出AB的任意整数倍。(二)证明：∵AB=AC=BC=BD=CD=BE=DE∴∠ABC=∠CBD=∠DBE=60°∴∠ABC+∠CBD+∠DBE=180°∴ABE三点共线，AE=2AB如此类推，可做出AB的任意整数倍。二、给定A,B,C两点，C在AB外，做出C对AB的对称点。(一)方法：做A(AC)和B(BC)交于另一点D，D即为所求(二)证明：设AB和CD交于E∵AC=AD∴∠ACD=∠ADC∵AC=AD，BC=BD，AB=AB∴⊿ABC⊿ABD∴∠BAC=∠BAD∵AE=AE∴⊿A

5、DE⊿ACE∴CE=DE，∠CEA=∠DEA∴∠CEA+∠DEA=180°∴∠CEA=∠DEA=90°∴D为C对AB的对称点18一、给定A,B两点，做出C点，使AC⊥AB。(一)方法：做B(AB)和A(AB)交于一点D，做BD往D方向延长一倍到C(作图法1)，C即为所求。(二)证明：∵AB=AD=BD∴∠B=∠BAD=∠ADB∵CD=BD=AD∴∠ACD=∠CAD=(180°-∠ADC/2)=(180°-(60°+60°)/2)=30°∴∠CAB=∠CAD+∠BAD=90°∴AC⊥AB二、给定A,B,C为不共线三点，做出D点，使ABCD成为一平行四边形。(一)方法：做C

6、(AB)和A(BC)交于一点D，D位于∠ABC内侧，D即为所求。(二)证明：∵AB=CD，AD=BC∴ABCD成为一平行四边形。三、作图法6─给定圆外一点A及O(OB)，做A对O(OB)的反演点D(即满足若OA交O(OB)于C，则OC2=OD*OA)(一)方法：做A(AO)交O(OB)于E,F做E(OE)，F(OF)交于另一点D，D即为所求。(二)证明：∵EO=FO=ED=FD∴OD为EF的中垂线∵AE=AF∴A在EF的中垂在线∴A,O,D三点共线18∵AE=AO，OE=DE∴∠AEO=∠AOE=∠DOE=∠ODE∴⊿AEO⊿EOD∴AE:EO=EO:OD∴EO2=AE

7、*OD∵AE=AO，EO=OC∴CO2=AO*OD一、给定A,B两点，做C使nAC=AB(n为正整数,n≧2)(一)方法：做AD=nAB(作图法1)做D对A(AB)的反演点C(作图法5)C即为所求(二)证明：∵AC*AD=AC*nAB=AB2∴nAC=AB二、给定A,B,C,D,E,F六点，做G,H，使AB/CD=EF/GH(一)方法：若EF<2AB，则在平面上任取一点O做O(AB)，O(CD)在O(AB)上取一点I做I(EF)交O(AB)于一点J，以适当长s为半径，做I(s)，J(s)，使这两圆皆交O(CD)于两点设I(s)交O(CD)