一元高次方程求解

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1、一元高次方程求解任给一个一元二次方程①由韦达定理，①的根可以表示为次方程的一般表达式是而称为次多项式，其中。当系数都是实数时，称是次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称为次复系数多项式。如果存在复数，使得，就称是次方程的一个根，或称为次多项式的一个根。1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根。根据代数基本定理可以推出：复数域上次多项式恰有个复数根，其中重根以个根计算。这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何次多项式都可以分解成个一次式的乘积。”代数基本定理是一个

2、纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法。要求得次方程的根，一般是希望得到次方程②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样。众所周知，方程①的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式。一个次方程②的求根公式是指，②的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解。三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是说，是否有求根公式？经过漫长的研究之路，直到16世纪，意大利数学家卡当（Candano）及其助手才先后给出了三次和四次方程的根式解。这里我们向读者介绍卡当关于三次方程解的公式，从中可看出他所作的

3、极富技巧的变换。另一方面，这个与二次方程仅仅相差一次方的三次方程，是中学时代爱好数学的青少年向往着解决的问题，看看前人是如何解决的，自己又能得到什么启示？不失一般性，可以设三次方程中的系数为1，则三次方程为③其中是任意复数。若令，则三次方程简化为④其中，，设表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得。若令，。36对于适当确定的立方根，卡当公式是，，求解线性方程组，得到，于是，原三次方程的三个根为，，。其中，（是虚数单位）。对于四次方程求根，就更加复杂了。但数学家们还是找到了一个解四次方程的办法。与三次情形类似，用一个平移，消去方程的这一项，于是可假定四次方程为⑤然后构造

4、方程的预解式⑥这是的三次方程。通过这个三次方程解出，把得到的代入，可以把原方程化为两个二次方程来求根。因而可以说，对于次数不超过4的方程，都可以找到根的计算公式，使得方程的每个根可以用方程的系数经过加减乘除和开方运算表示出来。做这件事就叫做根式求解。怎样得到高次方程的近似根伽罗华找到了一个一元高次方程能否根式求解的判别方法，但是他还是没有给出高次程的具体求解方法。那么，如何求得高次方程的根呢？在一般情况下，求出精确根是很困难的，而且科学研究、工程技术季实际应用中，也没有必要求出精确根，只要求出根的近似值。那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？设是的一个精确根，即，假设问题

5、所要求的精确度为，也就是满足的，或满足的，称为的一个近似根。下面我们介绍一下求近似根的几个常用方法：方法一：牛顿切线法取一个初始值，然后使用下述迭代公式36，xyOx*f(xk-1)xk-1f(xk)xk其中是的一阶导数。牛顿切线法有明显的几何意义，如右图，因为的根满足，在直角坐标平面中，点恰是的曲线与Ox轴的交点，于是每次迭代所得的点正好是曲线上点的横坐标。牛顿切线法其实就是过曲线上的一列点所作曲线的切线与Ox轴的交点。方法二：牛顿割线法在方法一中，只要给定一个初始点。而方法二中，我们给定两个初始点。然后在每次迭代时，把作为下一次迭代的始值。这类方法都是从已知的点通过相同

6、的计算公式，求得下一个新点。数学上称为迭代法。迭代法很适合于计算。只要初始值选取得好，以上两种方法产生的无穷数列。均能收敛于的根。方法三：二分法先将分成N等份，得到N个等长的小区间，显然每个小区间的长度。记第一个小区间为，其中，，第个小区间为，则，，若对其中某些，有，则在中必有的一个根。然后对这些再分别用二分法，便能求出的一个近似根。二分法很简便，是工程师们喜欢的一种求全部相异近似单实根的方法。问题在于如何合适地确定N，因为N太大，则工作量也会太大，而N太小时，会出现某个小区间内包含多个根，从而二分法会将这个小区间的根漏掉。方法四：劈因子法先用求单实根的方法，求出的一个根，

7、利用因式分解有，其中是（）次多项式。然后求的一个根，依次计算下去就有可能求出36的所有实根。这里所说的有可能求出的所有实根，而不是一定，是因为在一般情况下，我们只能求得等的近似值，所以有可能会影响到后面所得根的精确性。方法五：林士谔—赵访熊法林士谔与赵访熊是我国两位著名的数学家，在计算数学方面都有卓越的贡献。林士谔—赵访熊法是求的复数根的一种好方法。我们知道，二次多项式的根由给出，林士谔—赵访熊法就是求的二次因式的方法。该方法建立了一套求和的迭代方法，且可以避免复数运算。一旦求得和之后，就得到了的两个根，且当时，可