第3讲矢性函数的微分与积分

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1、《矢量分析与场论》第3讲矢性函数的微分与积分张元中中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院主要内容1.矢性函数导数公式的应用2.导矢的几何应用3.导矢的物理应用4.矢性函数的不定积分5.矢性函数的定积分教材：第1章，第2节，第3节1.矢性函数导数公式的应用解：例6：设求处的。1.矢性函数导数公式的应用解：在处：例6：设求处的。1.矢性函数导数公式的应用解：例6：设求处的。1.矢性函数导数公式的应用证：例7：矢性函数的模不变的充要条件是：设，则：对上式两边求导，得到：1.矢性函数导数公式的应用证：反之，设：则有：即：例7：矢性函数的模不变的充要条件是：1.矢性函数导数

2、公式的应用定长矢量与其导矢相互垂直。对于单位矢量，有：对于圆函数，有，例7：矢性函数的模不变的充要条件是：1.矢性函数导数公式的应用证明圆柱螺旋线的切线与轴成定角（习题1第8题）。证：2.导矢的几何应用曲线的切线和法平面表示曲线的切线方向。在点处，引入切线的动点，对应的矢量为：2.导矢的几何应用须满足：式中为常数，可以写出切线方程：或写为：2.导矢的几何应用曲线的法平面是指与切线相垂直的平面。而：设是法平面上的任一个动点，可以得到：法平面方程：2.导矢的几何应用曲面的法线和切平面设曲面的方程为：两边取导数，得到：是经过的任意一条曲线，有：（1）2.导矢的几何应用曲面的

3、法线和切平面方程（1）可以表示为：的方向为法线方向。2.导矢的几何应用曲面的法线和切平面切平面方程：对于和，法线方程是：3.导矢的物理应用牛顿力学主要讨论矢量函数，为运动轨迹。为路程，为的函数。为一切向单位矢量，指向增大的一方。为速率，则：3.导矢的物理应用运动速度为切线方向。切向单位矢：速度矢量：加速度矢量：法向单位矢：3.导矢的物理应用证：例9：一质点以常角速度在圆周上运动，证明其加速度为：其中为速度的模。其中为角速度的模，为常数，从而加速度由于，所以：4.矢性函数的不定积分若已知是的一个原函数，则有：（是任意常矢量）定义：若在的某个区间上，有，则称为在此区间的一

4、个原函数。在此区间上，的原函数的全体，叫做在上的不定积分，记作：4.矢性函数的不定积分性质：为非零常数，为非零常矢。4.矢性函数的不定积分证：同理有分量，相加得：4.矢性函数的不定积分若，则有：一个矢性函数的不定积分，归结为三个数性函数的不定积分。换元法和分部积分法也适用于矢性函数。由于：4.矢性函数的不定积分例1：计算解：利用换元积分法，令，则：4.矢性函数的不定积分例2：计算解：利用分部积分法，有：4.矢性函数的不定积分解：例3：设计算由于为常矢，故4.矢性函数的不定积分解：例3：设计算5.矢性函数的定积分定义：设矢性函数在区间上连续，则在上定积分是指下面形式的极

5、限：其中；为区间上的一点；5.矢性函数的定积分不定积分的性质同样适用于定积分若是连续矢性函数在区间上的一个原函数，则有：5.矢性函数的定积分例4：已知求解：5.矢性函数的定积分例：求的圆柱螺旋线长度。解：已知圆柱螺旋线的矢径方程为：弧长的微分：5.矢性函数的定积分解：例：设，求。Homework2作业P19习题1：6，7，9，10