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1、平面图形的镶嵌设计第6页对平面图形的镶嵌设计的探究江西省乐平市第二中学骆文娟用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙,不重叠地辅成一片,这称做平面图形的镶嵌,又称平面图形的密辅.平面图形镶嵌的条件:每个拼接点处,几个多边形的各内角之和为360°,且将相等的边重合.探究一:任意三角形、四边形的镶嵌.1.任意一个三角形的三个不同的内角拼在同一顶点处构成平角,在三角形镶嵌的图案中,每个拼接点处有6个角,可以组成两个三角形的内角和,将相等的边拼接重合.（如图１）图１ ２．任意一个四边形的四个不同的
2、内角之和拼在同一顶点处构成周角，在四边形镶嵌的图案中，每个拼接点处有４个角，恰好是一个四边形的四个内角，将相等的边拼接重合（如图２）．图２１探究二：用同一种正多边形的镶嵌.问题1.(1)从正三角形,正方形,正五边形,正六边形中选一种镶嵌平面,哪几种正多边形能镶嵌平面?并说明了理由.分别画出它们镶嵌平面的几何图形.(2)你还能找出其它一种不同的正多边形镶嵌平面吗?并说明了理由.平面图形的镶嵌设计第6页解(1)正三角形,正方形,正六边形能镶嵌平面,正五边形不能镶嵌平面.镶嵌的平面图形如图3.理由:正三角形,正方形,正六边形的内角
3、分别是60°、90°、120°,都能被360°整除,正五边形的内角是108°,不能被360°整除.(2)不能.理由:其它正多边形的内角都不能被360°整除.图3２１结论:(1)用同一种正多边形镶嵌的条件：正n边形的内角能被360°整除，即整数时,可以镶嵌,否则不能.(2)只有正三角形、正方形、正六边形可以镶嵌平面,其它的正多边形不能镶嵌平面.探究三:用两种或三种不同的正多边形的镶嵌.问题2:(1)从正三角形、正方形、正六边形中选两种镶嵌平面,探索这两种不同的正多边形组合起来能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由,并画出对应
4、的平面镶嵌图形.(2)从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中选一种,再从其它正多边形中选一种,探索哪两种不同的正多边形组合起来能镶嵌平面,请写出一种.解:(1)分二种情况讨论:①用正三角形与正方形的组合镶嵌平面.设在一个顶点周围有m个正三角形的角和n个正方形的角,则有平面图形的镶嵌设计第6页60m+90n=360,即2m+3n=12,这个方程的整数解只有:因此一个顶点周围有3个正三角形的角和2个正方形的角,符合条件的图形有两种.(如图4)图4１①用正三角形和正六边形的组合镶嵌平面.同理可得：一个顶点周围有4个正三角形的角和
5、1个正六边形的角,或者一个顶点周围有2个正三角形的角和2个正六边形的角.符合条件的图形有两种(如图5).图5１(2)正三角形和正十二边形的组合、正方形和正八边形的组合、正五边形和正十边形的组合.结论:用两种不同的正多边形组合起来镶嵌平面只有以上五种组合.问题3.(1)若平面镶嵌图形的某个顶点处有三个不同的正多边形的角,已知两个角分别是正三角形的角和正十边形的角,那么第三个角所在的正多边形边数是多少?并说明理由.(2)你能设计其它用三种不同的正多边形组合起来镶嵌平面的图形吗?并画出对应的平面镶嵌图形.解:(1)15.平面图形的
6、镶嵌设计第6页理由:设第三角所在的正多边形边数为n.正十边形的内角为144°,则60°+144°+=180°解得:n=15.(2)正六边形、正方形和正三角形的组合或者正十二边形、正六边形和正方形的组合等.(如图6)图6１结论:镶嵌平面的几个正多边形的边长相等,拼接点处的几个正多边形的内角之和是360°,拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边.探究四:利用正三角形,正方形等构造“基本单位”图案镶嵌平面.1.利用正三角形中心与三个顶点的连线构造“基本单位”图案,通过对称拼接镶嵌平面,如图7.拖动点A、B可改变“基本单位”
7、图案图7１2.利用正方形构造“基本单位”平面图形的镶嵌设计第6页图案,通过4次旋转90°拼接成大的“基本单位”图案,再通过平移拼接镶嵌平面,如图8..图88１结论:正三角形,正方形等图形能镶嵌平面,利用它们构造“基本单位”图案,通过对称、平移、旋转等拼接镶嵌平面,可设计出很多美丽的图案.探究五:利用一些不同几何图形的组合镶嵌平面.(1)丢勒的镶嵌图案.如图9,在每个拼接点处有三个正五边形和一个36°的菱形.(2)埃舍尔的镶嵌图案.如图10,根据菱形的对角互补,在每个拼接点处有两个正方形和两个菱形.图10图9探究六:用不规则的
8、“基本单位”图案镶嵌平面.构造不规则的“基本单位”图案,通过平移、旋转、对称等拼接镶嵌平面,形成美丽的图案,如图11.平面图形的镶嵌设计第6页=
