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1、高等数学归纳(第一章~第三章)2010126137彭伟奕第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合●集合概念：集合（集）是指具有某种特定性质的事物的总体。●元素（元）：组成某个集合的事物称为该集合的元素（元）。(a属于A,记作a∈A；a不属于A，记作aA。)●表示集合的方法：（1）列举法：把集合的全体元素一一列举出来，例：A=（2）描述法：集合M=，例：M=●集合间关系：A包含于B（AB），A不包含于B（AB）A是B的真子集（），A等于B（A=B）,空集是任何非空集合的真子集。●集合的运算：并，交，差AB=IA为A的
2、余集或补集，亦记●集合运算法则：交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C)A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律：（A∪B）∩C=(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)对偶律：直积（笛卡尔乘积）：AB={（x,y）
3、x∈A且x∈B}，例：R×R={(x,y)
4、x∈R,y∈B}为XOY面上全体点的集合，R×R记作。●区间与邻域：（1）区间开区间：（a,b）,a,b为开区间（a,b）的端点。闭区间：[a,b]半开区间：[a,b﹚,﹙a,b]（2）邻域：以a为中心的任何开
5、区间称以点a为邻域，记作U（a）点a的δ邻域，记U(a,δ)，其中δ为任一正数，U(a,δ)={x
6、a-δ＜x＜a+δ}={x
7、
8、x-a
9、＜δ}点a为邻域的中心，δ为邻域半径。点a的去心δ邻域，，为把邻域中心去掉，={x
10、0＜
11、x-a
12、＜δ}点a的左邻域：{a-δ，a}，点a的右邻域：{a,a+δ}二、映射●定义：X，Y两非空集合，如有一对应法则f使X中每一个元素x，按f，Y中有唯一确定的元素y一之对应，则称f为从X到Y的映射，f：X，其中y为元素x（在映射f下）的像。●构成映射的三要素：（1）定义域,=X;(2)值域
13、，Y；（3）对应法则f，对于每个x∈X,有唯一确定的y=f（x）与之对应。满射、单射、双射l从X到Y上的满射：任一y都是x中某元素的像。lf为x到y的单射：x中任，且l双射：f为一一映射（或双射）：f既单射，又双射。●逆映射与复合映射：1）设f是X到Y的单射，则由定义，对每一个y∈，有唯一的x∈X，适合f（x）=y.于是，我们可以定义一个从到X的新映射g，即g：X对每一个y∈，规定g（y）=x，这x满足f（x）=y.这个映射g称为f的逆映射，记作，其定义域，值域。*只有单射才有逆映射。●复合映射：设两个映射g:X，f：
14、,其中,则由映射g合f可以定义出一个从X到Z的对应法则，他将每一个x∈X映成f[g（x）]∈Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g合f构成的复合函数，记作，即*映射g与f成复合映射的条件：g的值域必须包含在f定义域内，即：三、函数●定义：设数集D，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为y=f（x），x∈D其中x称为自变量，y因变量，记作，即.●值域：或f（D）即f与f（x）的区别：f表示x与y的对应法则，f（x）表示x与对应的函数值。●表示函数的方法：表格法；图形法；解析法（公式法）
15、●构成函数的要素：定义域及对应法则f。（如果两个函数定义域和对应法则都相同，那么这两个函数就是相同的）●函数的几种特性（1）函数的有界性：X,使则f(x)有上界X,使f(x)则f(x)有下界X,使
16、f(x)
17、则f(x)有界如这样的M不存在则f(x)无界.（2）函数的单调性：设,I,如I上任意当时,恒有则f(x)在I上单调增加,如I上任意当时,恒有则f(x)在I上单调减少。单调增加与单调减少的函数统称为单调函数。（3）函数的奇偶性：前提关于原点对称，如果，f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数,如果，则f(x)为奇函数（
18、4）函数的周期性：设=D，存在一正数L使任一x有（xL）D，且f（x+L）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，L为周期，通常说的周期是最小正周期。●反函数与复合函数（1）反函数：设函数f：Df（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为f的反函数。于是。一般记为，x。F（x）称为直接函数，两函数关于y=x对称。（2）复合函数：设y=f(u)u=g(x),则有y=,x称为由函数u=g(x)与函数构成的复合函数,定义域,变量u称为中间变量*构成条件：函数g的值域●函数的运算：设函数f(x)，g（x）的定义域依次为，则可定
19、义一函数和（差）fg：；积：商：。●初等函数（1）幂函数：y=（是常数），（2）指数函数：（3）对数函数：（4）三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx=,y=cscx=（5）反三角函数：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等。基本初等函数：有常数和基本初等函数经过有
