全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题

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1、20xx年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试（80分钟）一、填空题（本题满分56分，每小题8分）1.已知数列的前项和，则________．2.若集合为空集，则实数的取值范围是________．3.设、为实数，，则二元函数的最小值是________4.设、分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆交双曲线左支于、两点，且.双曲线的离心率的值介于整数与之间，则________．5.已知长方体的体积为，则四面体与四面体的重叠部分的体积等于________．6.设表示不大于的最大整数，则________．7.设方程的根都是正数，且，则的最大值是

2、________．8.的方格棋盘的一条对角线穿过________个棋盘格．二、解答题（本题满分14分）求函数的值域．三、解答题（本题满分15分）如图，抛物线及点，过点的不重合的直线、与此抛物线分别交于点，，，．证明：，，，四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补．xyOPACBD四、解答题（本题满分15分）设，是正数，且，，求证：．第二试（150分钟）一、（本题满分50分）如图，在△中，∥，△的内切圆与切于点，△的边上的旁切圆切于点，点是与的交点，求证、、三点共线.ABCDPENM二、（本题满分50分）设，为给定的整数，.对任意元的数集，

3、作的所有元子集的元素和，记这些和组成的集合为，集合中元素个数是，求的最大值.三、（本题满分50分）设，是互不相同的正整数，求证：.四、（本题满分50分）求满足下列条件的所有正整数，：（1）与互素；（2）.2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准第一试一、填空题（本题满分56分，每小题8分）1.2.3.4.5.6.7.8.二、解答题（本题满分14分）解因为.………………8分令，则，.易知函数在区间与上都是减函数，所以的值域为，故的值域为.………………14分三、解答题（本题满分15分）解设、的倾斜角分别为、，由题设知、.易知

4、直线的参数方程为，代入抛物线方程可化得.设上述方程的两根为、，则.由参数的几何意义，得.…………………5分同理.…………………7分若、、、四点共圆，则，即.因为、，所以.又由、不重合，则.所以.…………………11分反过来，若，则因、，故，且，.所以，即.故、、、四点共圆.…………………15分四、解答题（本题满分15分）解因为，且（），所以，即.…………………10分同理可证.于是，.…………………15分2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加试一、（本题满分50分）ABCDPENM证设与交于点.因为∥，所以，.故只需证明

5、，或.………………10分如图,设、分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆心，、、、为切点，则，，，.………………30分又ABCDPENMO1O2FGIH∽，故可设，则故结论成立．………………50分二、（本题满分50分）解的最大值为.…………………10分因共有个元子集，故显然有.…………………20分下面我们指出，对集合，相应的等于，即的任意两个不同的元子集的元素之和不相等.从而的最大值为.事实上，若上述的集合有两个不同的元子集，，使得与的元素之和相等，则（设）.①因①可视为正整数的二进制表示，由于互不相同，互不相同，故由正整数的二进制表示的唯一

6、性，我们由①推出，集合必须与相同，从而子集，矛盾.这就证明了我们的断言.…………………50分三、（本题满分50分）证对s归纳.（1）当时，结论显然成立.…………………10分（2）假设时结论成立，当时，不妨设.由归纳假设可知，，则.所以只要证明：，此即.…………………30分因为正整数，所以.故，.所以，即时，命题成立.因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数成立.…………………50分四、（本题满分50分）解显然，满足要求.…………………10分对于，，方程可化为.显然.因为，故一定是的一个因子.设（为正整数），从而.由可知.…………………2

7、0分消去，得，即.由此推得.…………………40分若，则，即，从而，故必有，矛盾.所以，从而，.验证知，.综上，，.…………………50分