计算流体力学讲义 第一章 绪论

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1、第一章绪论§1.1计算流体力学简介（一）什么是计算流体力学1．以计算机作为模拟手段，运用一定的计算技术寻求流体力学各种复杂问题的离散化数值解。l数值解而不是解析解；l计算技术起关键作用；l与计算机的发展紧密相关2．计算流体力学、理论流体力学、实验流体力学是流体力学研究工作的三种主要手段――既互相独立又相辅相成n理论分析具有普遍性――各种影响因素清晰可见、为实验和计算研究提供依据n实验研究仍是研究工作的基石，数值研究的许多方面都密切依赖于实验研究：实验提供数据；计算结果需由实验验证；观察实验现象分析实验数据以建立计算模型等等。n数值模拟是特

2、殊意义下的实验，也称数值实验（二）计算流体力学研究工作的方向1．与现代计算技术的发展相关联的研究方向：（与计算物理，计算力学发展、图形学、网格技术等）2．与离散数学的理论研究相关连的研究方向；离散化理论、边界条件数值处理的稳定性分析、格式的熵条件等3．在一些相关学科的边缘上寻求新的发展点；4．解决众多相关学科的的科研工作和工程实际提出的与流体力学问题有关的各类复杂的问题机械、航天航空、气象、海洋、石油、环境（包括气动噪音控制）、建筑、（三）计算流体力学研究工作的优势、存在的问题和困难1．优势：“数值实验”比“物理实验”具有更大的自由度和灵

3、活性，例如“自由”地选取各种参数等“数值实验”可以进行“物理实验”不可能或很难进行的实验；例如：天体内部地温度场数值模拟，可控热核反应地数值模拟“数值实验”的经济效益极为显著，而且将越来越显著；2．问题与不足流动机理不明的问题，数值工作无法进行；数值工作自身仍然有许多理论问题有待解决；离散化不仅引起定量的误差，同时也会引起定性的误差，所以数值工作仍然离不开实验的验证；§1.2流体力学微分方程的数学性质当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时，不同类型的微分方程，其数值处理方法各异，其中包括提法的适定性、物理解的性质、差分格式的适用性等；

4、在一些特殊的问题中，甚至通过差分格式的特殊技巧来改变方程的数学性质（一）一阶拟线性微分方程组的分类对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：其中为n阶矩阵若：的特征值为,则：⑴．当n个特征值全部为复数时，称方程在(t,xi)平面上为纯椭圆型；⑵．当n个特征值全部为互不相等的实数时，称方程在(t,xi)平面上为纯双曲型；而当n个特征值全部为实数，但有部分为相等的实数时，称方程在(t,xi)平面上为双曲型；⑶．当n个特征值全部为零时，称方程在(t,xi)平面上为纯抛物型；⑷．当n个特征值部分为复数、部分为实数时，称方程在(t,xi)平面上为双曲椭圆

5、型；二阶拟线性方程组，可以通过降阶法进行类似的分析。(实例见后)（一）流体力学控制方程数学分类的举例：1．二维定常理想流体流动的Euler方程写成向量形式：求矩阵C的特征值得：如果：2。二维非定常理想流体流动的Euler方程求C的特征值，结论与定常相同：得到在X-Y平面的方程性质；求D的特征值，得：为四个实根，即方程在Y-t平面为双曲型；所以Euler方程可以在时间座标方向推进，而在定常问题中能否推进计算，必须根据流动是否为超音速（M与1的关系）来定。3．定常不可压缩Navier–Stokes方程的数学分类降阶法：令：以下的分析与一阶拟线

6、性方程组的讨论相似，结论为定常N-S方程为椭圆型。4．非定常不可压缩Navier–Stokes方程5．定常可压缩Navier–Stokes方程6．非定常可压缩Navier–Stokes方程类7．抛物化N–S方程利用边界层流动的概念，设X方向为主流方向，即考虑有：把流动方向的二阶偏导数略去，（注意与边界层方程不同的是一阶偏导数都将保留！）结论是定常N-S方程此时变为抛物型方程。§1.3模型方程以及在计算流体力学中的应用（一）。模型方程的引入简化对差分格式的性质的讨论及考核必须反映物理问题的最基本的特征，且方便于进行理论分析例如：以流－涡函数

7、描述二维流动问题时有方程：又如：模型方程可以提炼为：一维Burger方程。（二）。几个典型的模型方程l一维波传播方程：l一维热传递方程：l一维对流扩散方程：lLaplace方程：lBurger方程：l无粘Burger方程：其中前4个方程为线性方程，可求出解析解，后两个方程为非线性方程，也可以求出解析解。▲Burger方程的解析解：（1－3－1）：粘性系数，时为无粘方程。解：时，可令未知函数具有如下的形式：（1－3－2）其中是待定的二阶可微分函数，将其代入（1－3－1）式：代入（1－3－1），则得不妨设为满足抛物方程得解，即：（1－3－3）

8、则（1－3－2）给出了Burger方程的解析解的一般形式。若的初始条件为，则由（1－3－2）给出的的对应于的初始条件是：由（1－3－3）给出的Burger方程的通解是：再代入（1－3－2）可得