关于函数零点的教学

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1、关于函数零点的教学——我的反思与实践南京师大附中陶维林这学期我也教高一，用新教材。从绍兴回到学校，第二天，我就上“方程的根与函数的零点”这节课。应该说，通过“绍兴会议”课题组老师们的讨论，我也已经对“绍兴的课”有了一定的反思，是反思后的一次尝试。1．函数零点概念的教学我是这样开始的。提出问题1：方程3456x2－3458x＋1＝0有实数根吗？大部分同学拿起计算器开始计算起来。有少数学生并没有这样做，而是看着黑板上的问题在思考，观察系数特征。“系数怎么这么大？有趣，怪怪的，也算‘△’吗？”我也没说更多的话。一会儿，就有学

2、生说“有实根。”他是计算一元二次方程根的判别式△的值，通过它的符号作出判断的。虽然数字较大，但计算器并不在乎。“你的结论呢？”我问一位没有用计算器计算的同学。“有。”他肯定地说。“你是怎么知道的？”“设f（x）＝3456x2－3458x＋1，然后画个图。”这里至少有两点是可贵的：一是把方程与函数联系起来，通过函数来研究方程；二是想到了画图，数形结合！“图是怎么画的呢？”我追问。“因为当x＝0时，f（0）＝1；而当x＝1时，f（1）＝－1，因此，方程3456x2－3458x＋1＝0在区间（0，1）上一定有一个实数根。”看

3、来，他已经观察出系数中的名堂。我应着他在黑板上画出示意图。“你是怎么想到的呢？”“想到”是对“知道”的挖掘，教师企图挖掘背后的思维过程。“我们在初中就讲过（学过）。”开始把当前的问题与已有的知识、经验联系起来。“初中是怎么讲的？”这一问题意在引导学生回忆、再现已有的相关知识。学生把初中学习过的有关一元二次方程、二次函数、二次函数图象的关系叙述了一遍，基本上重复了教科书（P87）上的内容。教科书的编写是从学生已有的知识出发，回忆初中已经学习过二次函数的图象与一元二次方程的关系引入函数零点的概念，这是正确的。但是，教学中如

4、何处理？如何呈现？是另一个值得研究的教学处理的问题。如果老师照本宣科，把教科书的内容平铺直叙地复述一遍，学生不会感兴趣，也感受不到老师讲这些内容的必要。而由学生自己把它作为解决问题的理由叙述出来就大不一样了。是教师引导下学生的主动回忆，是过去所学知识、经验的运用。也正是本节课所学概念的“生长点”。实践证明，“3456x2－3458x＋1＝0是否有实数解？”使得学生不至于用因式分解的方法去找方程的实数根。许多同学想到用判别式的符号进行判断也不奇怪，这是他已有的经验，但是，毕竟有一批学生（不是一两个）对教师提出的问题不是简

5、单地去计算△30，而是试图通过其他途径来解决，而且这个途径是可以找到的，当然要认真思考一下（与函数联系、画图）才能找到，符合能力“最近发展区”的要求。如果我们提出“方程x2－2x－3＝0是否有实数根？”学生一下子就可以给出结论。一是学生知道，对方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），只要a，c异号，那么，△＝b2－4ac就一定大于零；二是很容易把x2－2x－3分解为（x＋1）（x－3），根是什么都知道了。这样与本节课的教学内容——函数零点的联系就不够紧密。在学生用初中知识，运用函数f（x）＝3456x2－3458x＋1的图

6、象这个工具，解释方程3456x2－3458x＋1＝0有实数解后，教师再提出函数零点的概念，学生是很容易接受的。于是不难得到“方程f（x）＝0有实数根函数f（x）的图象与x轴有交点＝0函数f（x）有零点”的结论。实际上，函数的零点这个概念，就是学生初中所学习过的“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根就是相应的二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标”的直接推广。学生经历的是特殊问题一般化的过程。他们可以用这个旧知识来同化新知识。而且这个新知识与旧知识之间也只有一层很薄的窗户纸，一捅就破。对于

7、函数零点概念的理解，他们仍然可以以二次方程为载体。不必把简单的问题搞复杂，清楚的问题搞糊涂。函数零点的概念并不是这节课教学的重心，重心是“函数零点存在的条件”。2．函数零点存在条件的教学接着提问题2：函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）·f（b）＜0，那么函数f（x）在区间（a，b）上是否一定存在零点？请举例说明。我特别强调“请举例说明”。同学们议论起来。很快就有人说“不一定。”“请举个例子。”我说。“f（x）＝，在区间（－1，1）上有f（－1）·f（1）＜0，但是f（x）＝0在（－1，1）上没有实数根。”大家都觉

8、得这个例子很精彩。确实，举反例常常不是件容易的事。再提出30问题3：函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）·f（b）＜0，且有零点，那么一定只有一个吗？请举例说明。有一个学生在黑板上画出了图1，还有人画出图2。图1图2我故意地数了数“3个，5个，…”图3图4“不一定是奇数个。”一个学生说。有学生听出我的话外音“老师是说一定有奇数