§2.5定态薛定谔方程解的算例

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1、§2.5定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程问题，就是求解势能不随时间改变条件下的薛定谔方程，就是求解哈密顿方程在一维条件下求解微分方程，需要利用一定的边界条件求出本征函数ψ的表达式和本征值E的数值目的：通过对解的讨论，了解量子力学体系的特征及其物理意义1、一维简谐振子势势能势能函数是一条抛物线哈密顿方程为：谐振子—势能为V(x)、质量为m的粒子由于α待定，变系数的常微分方程谐振子的角频率方程化为其通式为：前5个厄米多项式为：偶函数奇函数波函数的空间对称是偶性的，就称宇称是偶性的—偶宇称奇宇称波函数的图形零点能所以谐振子的能量本征值为:由谐振子的角频率谐振子的能量是等间隔的分立能级

2、，而且量子数n取最小值0时，谐振子的能量并不为0。这也意味着，量子束缚态的动能不可能为零，与经典的情况不相同！这是波粒二象性的表现，它满足不确定关系的要求！谐振子的几率分布在任一能级上，势能曲线以外概率密度并不为零微观粒子运动的特点：它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。这在经典理论看来是不可能出现的！物理意义：1）量子谐振子的能级是量子化的，等间隔均匀分布。能级的间距为。能量本征值只能取一些不连续的值。2）最低能态的总能量（或称之为零点能）为：3）位于谐振子势井中的质点，量子力学的结果：当n=0时，在x=o处粒子出现的几率最大。经典力学则认为：当n=0时，在x=o处粒子出现

3、的几率最小。当量子数n很大时与经典力学的结果趋于一致！当温度趋于绝对零度时，电磁场的简谐振动或晶体点阵上的原子振动处于基态对量子谐振子它们仍在振动，且平均动能大于零，意味着量子的束缚态是不可能为零的。例题1：设想一个质量为m=1g的小球，悬挂在一个小轻弹簧下做振幅为A=1mm的简谐振动。弹簧系数为k=0.1N/m。按量子理论计算：1）此弹簧谐振子的能级间隔有多大？2）与它现有的振动能量对应的量子数是多少？例题2：HCL气体能强烈吸收波长为3.465um的红外辐射。这是HCL分子振子吸收入射光子能量的结果。求：1）振子的振动频率；2）绝对零度时一摩尔HCL气体的总振动能量。2、一维无

4、限深势阱如图，Ⅰ中，势能为0；Ⅱ、Ⅲ中，势能为∞不分区的哈密顿方程I区中IIIIIIE:动能>0通解为目的：了解势井中量子状态的特点，分立能级、零度能等。Ⅰ为无限深势阱中势能是常量，粒子不受力做自由运动令II、III区中哈密顿方程为：其形式上的通解：依据波函数的边界条件表明：势阱外的波函数为0由于就有上式↓↑该齐次方程非零解的条件为：势井中波函数，在井壁上必定为0，所以边界条件为：即有因而有即而势井中粒子的能量本征值1）势阱内粒子能量是量子化的，是势阱中波函数的共同点结论：进一步确定本征函数2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：势

5、阱中的位置不确定量为Δx≈a不可能有若对波函数归一化当时，依据边界条件，有归一化条件就是粒子在整个空间内出现的总概率为1↑可得偶宇称奇宇称粒子的能量本征函数与坐标关系偶函数奇函数偶宇称奇宇称概率密度图形由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到：1）这里由粒子的波动性给出的概率密度的周期性分布与经典粒子分布完全不同。按经典理论，粒子在阱内来来回回自由运动，在各处的概率密度应该是相等的，而且与粒子的能量无关。2）与经典粒子不同的第二点。由量子粒子的最小能量为：这符合不确定关系，因为量子粒子在有限空间内运动，其速度不可能为零，而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态3）由粒子的能量公式，

6、可得到势阱中粒子的动量:相应地，粒子的德布罗意波长为：该波长也量子化了，它只能是势阱宽度两倍的整数分之一。它就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。无限深势阱中粒子的每一个能量本征态，对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波!例题在原子核内的质子和中子可粗略的看成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中的运动也可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算，质子从第一激发态（n=2）到基态（n=1）转变时，放出的能量是多少MeV?例题根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和第一激发态叠加而成，前者的幅是1/2，后者的幅是（这就意味着基态的基本概

7、率是1/4，第一激发态的基本概率是3/4）。试求这一叠加态的概率分布。3、阶跃势定义：势能在空间某一位置由一个值突然变为另一个值的势场。粒子在阶跃势场中的运动在量子力学中，只需要求解薛定谔方程：a)对x<0区域，V(x)=0X<0区域内薛定谔方程的通解：向右传播的行波↓向左传播的行波↓设粒子的总能量在x>0区域要使满足“有限”的要求，⑴必须要求C=0。⑵要使波函数连续，在x=0的位置应该有：b)x>0区域V(x)=V0薛定谔可以写为：其通解为：如果这两个区域波函数满足