活用数形结合思想提高数学解题能力

《活用数形结合思想提高数学解题能力》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、活用数形结合思想提高数学解题能力摘要:在高考复习时，我们要充分认识数学思想的重要性，要有意识地渗透数学思想，提升学生运用数学思想解答数学问题的能力。本文以数形结合思想方法运用为例，着重探讨了数形结合思想在解答问题时的便捷性和高效性。关键词:数学教学；数形结合思想；数学解题能力《高考考试大纲》对数学考查的要求指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值。”“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的

2、掌握程度”。因此，在高考复习时，我们要充分认识数学思想的重要性，要有意识地渗透数学思想，提升学生运用数学思想解答数学问题的能力。本文以数形结合思想方法运用为例，着重探讨了数形结合思想在解答问题时的便捷性和高效性。所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。“书缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体的说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助“形”去观察；或将“形”的问题，借助“数”去思考

3、，这种解决的思想称为数形结合思想。在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，如果能活用数形结合思想，就能化繁为简，化难为易，有助于快速解决问题。高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。1.集合问题中的数形结合例1、已知集合a=｛x｜-1

4、在数轴上表示出集合a的范围，要使ab，由包含于的关系可知集合b应该覆盖集合a，从而有:a≤-13a≥3,这时a的值不可能存在（图1）2.利用函数的图象解答问题例2.设f(x)=x2,｜x｜≥1x,｜x｜<1，g(x)是二次函数，若f［g(x)］的值域是［0,+∞)，则g(x)的值域是（）a.（-∞,-1］y［1,+∞)b.（-∞,-1］y［0,+∞)c.［0,+∞)d.［1,+∞)分析：本题为复合函数，g(x)相当于f(x)中的x的值，结合函数的图象，可以求得g(x)的值域。解：作出函数f(x)的图象如图2所示，由图知当x∈（-∞,-1］u［0,+

5、∞)时，函数f(x)的值域为［0,+∞)，而f［g(x)］为复合函数，g(x)相当于f(x)中的x的值，所以g(x)的值域是（-∞,-1］y［0,+∞)，故选b。3.利用不等式表示的平面区域解答问题例3.若a≥0,b≥0，且当x≥0y≥0x+y≤1时，恒有ax+by≤1，则以a,b为坐标点p（a，b）所形成的平面区域的面积等于。分析：本小题主要考查线性规划的相关知识，可考虑特殊情形，比如x＝0，可得a＝1；y＝0可得b＝1。所以猜测a介于0和1之间，b介于0和1之间。解：不等式组x≥0y≥0x+y≤1表示的平面区域为vaob，如图30≤y≤1

6、，由ax+by≤1恒成立知，当x=0时，by≤1恒成立，当y=0成立；当0

7、，0≤y≤22）所给函数化为以u为参数的直线方程y=-x+u，它与椭圆x2+2y2=16在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图4）umin=22相切于第一象限时，u取最大值y=-x+u2+2y2=16→3x2-4ux+2u2-16=0解△=0，得u=±26取u=26∴umax=265.利用函数借助图形求面积例5曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(如图5所示阴影部分），其面积是（）a．1b．12c．22d．13分析:两条曲线围成的面积用微积分求出，并且是上面的函数减去下面的函数的积分。解:两条