7.1 直线的倾斜角和斜率

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时间:2018-07-16

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1、7.1 直线的倾斜角和斜率作者:赵智红教学目标:  (1)了解直线方程的概念,正确理解直线倾斜角和斜率概念,  (2)理解公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.  (3)培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.  (4)帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.教学重点、难点:直线斜率的概念和公式教学用具:计算机教学方法:启发引导法,讨论法教学过程:(一)直线方程的概念  如图1,对于一次函数,和它的图

2、像——直线有下面关系:  (1)有序数对(0,1)满足函数,则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1).  (2)反过来,直线上点B(1,3),则有序实数对(1,3)就满足.   一般地,满足函数式的每一对,的值,都是直线上的点的坐标(,);  反之,直线上每一点的坐标(,)都满足函数式,因此,一次函数的图象是一条直线,它是以满足的每一对x,y的值为坐标的点构成的.  从方程的角度看,函数也可以看作是二元一次方程,这样满足一次函数的每一对,的值“变成了”二元一次方程的解,使方程和直线建立了联系. 

3、 定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线就叫做这个方程的直线.  以上定义改用集合表述:,的二元一次方程的解为坐标的集合,记作.若(1)(2),则.  问:你能用充要条件叙述吗?  答:一条直线是一个方程的直线,或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是…….(二)直线的倾斜角【问题1】  请画出以下三个方程所表示的直线,并观察它们的异同.      ;;  过定点,方向不同.  如何确定一条

4、直线?  两点确定一条直线.  还有其他方法吗?或者说如果只给出一点,要确定这条直线还应增加什么条件?学生:思考、回忆、回答:这条直线的方向,或者说倾斜程度.【导入】  今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向.【问题2】  在坐标系中的一条直线,我们用怎样的角来刻画直线的方向呢?讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢?它不仅能解决我们的问题,同时还应该是简单的、自然的.  学生:展开讨论.  学生讨论过程中会有错误和不严谨之处,教师注意引导.  通过讨论认为:应选择α角来刻画直线的方向.根据三

5、角函数的知识,表明一个方向可以有无穷多个角,这里只需一个角即可(开始时可能有学生认为有四个角或两个角),当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念.【板书】  定义:一条直线l向上的方向与轴的正方向所成的最小正角叫做直线的倾斜角.  (教师强调三点:(1)直线向上的方向,(2)轴的正方向,(3)最小正角.)  特别地,当与轴平行或重合时,规定倾斜角为0°.  由此定义,角的范围如何?  0°≤α<180°或0≤α<π  如图3  至此问题2已经解决了,回顾一下是怎么解决的.(三)直线的斜率【问题

6、3】  下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线,并试着写出它们的直线方程.然后观察思考:直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的?  学生:在练习本上画出直线,写出方程.  30°ß--à=  45°ß--à =  135°ß--à=  (注:学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难,但对于倾斜角是30°可能有困难,此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决.)【演示动画】  观察直线变化,倾斜角变化,直线方程中系数变化的关系

7、  (1) 直线变化→α变化→中的系数变化   (同时注意α的变化).  (2)中的x系数k变化→直线变化→α变化   (同时注意α的变化).  教师引导学生观察,归纳,猜想出倾斜角与的系数的关系:倾斜角不同,方程中的系数不同,而且这个系数正是倾斜角的正切!【板书】  定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.记作,即.  这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于轴(正方向)倾斜程度的量——倾斜角,现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于轴(正方向)倾斜程度的

8、量——斜率.  指出下列直线的倾斜角和斜率:  (1)=-   (2)=tg60°   (3)=tg(-30°)  学生思考后回答,师生一起订正:(1)120°;(2)60°;(3)150°(为什么不是-30°呢?)画图,指出倾斜角和斜率.  结合图3(也可以演示动画),观察倾斜角变化时,斜率的变化情况.  注意:当倾斜角为90°时,斜率不存在.  α=0°     ß--à   =0  0°<α<90°ß--à   >0  α=90°    ß--à  不存在  90°<α<180°ß--à 

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