信号与系统教案,第三章 周期信号的傅里叶级数表示讲述

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1、东北电力大学教案封皮开课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统西安交通大学出版社总学时72课次12第3章周期信号的傅里叶级数表示3.0引言3.1历史回顾3.2LTI系统对复指数信号的响应3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示教学目的及要求了解傅里叶分析方法的历史，掌握LTI系统对复指数信号的响应以及连续时间周期信号的傅里叶级数表示。教学重点、难点及处理安排1.LTI系统对复指数信号的响应；2.连续时间周期信号的傅里叶级数表示。教学方式、方法讲授法教学内容及时间分配3.0引言5min3.1历史回顾

2、10min3.2LTI系统对复指数信号的响应30min3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示45min例题、练习题详见下文作业、思考题教案内容备注3.0引言在这一章及其后的两章，将讨论信号与LTI系统的另一种表示。和第2章一样，讨论的出发点仍是将信号表示成一组基本信号的线性组合，不过这时所用的基本信号是复指数，所得到的表示就是连续时间和离散时间傅里叶级数和傅里叶变换。这一章集中讨论连续时间和离散时间周期信号的傅里叶级数表示，到第4章和第5章再把这种分析推广到非周期的有限能量信号的傅里叶变换表示中去。这两

3、者合在一起就为分析、设计和理解信号与LTI系统提供了一种最有力和最重要的方法。3.1历史回顾（略）3.2LTI系统对复指数信号的响应在研究LTI系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，但这些基本信号应该具有以下两个性质:1.由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；2.LTI系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输人信号的响应有一个很方便的表示式。在研究LTT系统时，复指数信号的重要性在于这样一个事实，即：一个LTI系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是

4、在幅度上的变化；也就是说：连续时间：(3.1)离散时间：(3.2)这里或是一个复振幅因子，一般来说是复变量或的函数。一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数(可能是复数)乘以输人，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。证明复指数是LTI系统的特征函数：详见教材128页证明复指数序列也是离散时间LTI系统的特征函数：详见教材128页一般地说，在连续时间情况下，(3.1)式与叠加性质结合在一起就意味着：将信号表示成复指数的线性组合就会导致一个LTI系统响应的方便表达式。(证明略)换句

5、话说，对于连续时间和离散时间来说，如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输人中相应的系数分别与特征函数有关的系统特征值相乘来求得。3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示3.3.1成谐波关系的复指数信号的线性组合周期复指数信号：与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是：，于是，一个由成谐波关系的复指数线性组合形成的信号(3.25)这一项就是一个常数，和这两项都有基波频率等于，两者合在一起称之为基波分量或称一

6、次谐波分量。和这两项也是周期的，其周期是基波分量周期(或者说频率是基波频率的两倍)，称为二次谐波分量。一般来说，和的分量称为第次谐波分量。一个周期信号表示成(3.25)式的形式，就称为傅里叶级数表示。例3.2详见教材131页。若是一个实信号，而且能表示成(3.25)式的形式，那么就有继续可以推导一个信号为实信号时的另一种表示方式：(具体见教材)极坐标形式，(3.31)直角坐标形式，(3.32)由此可见，对实周期函数来说，按(3.25)式所给出的复指数形式的傅里叶级数，数学上就等效为(3.31式和(3.3

7、2)式这两种形式之一，即都是三角函数的表示式。3.3.2连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定(3.38)(3.39)式中分别给出了用基波频率和基波周期所表示的傅里叶级数的等效表示式。(3.38)式称为综合公式，而(3.39)式则称为分析公式。系数往往称为的傅里叶数级系数或称为的频谱系数。先举几个例子来说明傅里叶级数的展开：例3.3例3.4例3.5详见教材东北电力大学教案封皮开课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统西安交通大学出版社总学时72课次13第3章周期信号的傅里叶级数表示3.4傅里叶级数

8、的收敛3.5连续时间傅里叶级数性质教学目的及要求了解狄里赫利条件、吉伯斯现象，掌握连续时间傅里叶级数的性质，能够利用傅里叶级数分析式和性质计算信号的傅里叶级数表达式。教学重点、难点及处理安排连续时间傅里叶级数的性质教学方式、方法讲授法教学内容及时间分配3.4傅里叶级数的收敛35min3.5连续时间傅里叶级数性质55min例题、练习题详见下文作业、思考题教案内容备注3.4傅里叶级数的收敛由于要研究的大多数周期信号在一个周期内的能量都是有限的，