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1、线性代数练习题一选择题1都是阶矩阵，且,则必有:（）(A)或.(B).(C)或(D)2设则（）(A)(B)(C)(D)3若为矩阵,且则()必成立.（A）中每一个阶数大于r的子式全为零。（B）是满秩矩阵。（C）经初等变换可化为（D）中r阶子式不全为零。4向量组,线性无关的充分条件是()（A）均不是零向量.（B）中任一部分组线性无关.（C）中任意两个向量的对应分量都不成比例.（D）中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示.5齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组,则()必定成立.（A）只有零解时,有唯一解.（B）有非零解时,有无穷多解.（C）是的任意解,是的特解时,是的全部解.（D）是的
2、解时,是的解.6若,方程组中,方程个数少于未知量个数，则有()12(A)一定无解。(B)只有零解。(C)必有非零解。(D)一定有无穷多组解。7线性方程组，若,则方程组()(A)无解(B)有唯一解(C)有无穷多解(D)其解需要讨论多种情况8设、都是阶矩阵，且,则和的秩（）必有一个为,必定都小于,必有一个小于，必定都等于二填空题1方程组的通解为_____.2设5阶方阵的行列式为，则__________.3已知，求三计算题12解：3解：124、5设,求矩阵的秩。解：，6设,求解：，7解矩阵方程:解:8解矩阵方程:127解:8求线性方程组的通解解:知,故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：，为自
3、由未知量,12原方程组的通解为：,任意常数10求线性方程组的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基础解系。解:知,故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：，为自由未知量,原方程组的通解为：,任意常数11求线性方程组的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基础解系。解:，知12,故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：，为自由未知量,原方程组的通解为：,任意常数12当为何值时下列线性方程组有解？有解时用向量形式表示出它的通解解:，当时,,线性方程组有解。，知,故原方程组有无穷多组解,同解方程组为：，为自由未知量,原方程组的通解为：,任意常数13判断下列向量组的线性相关性并求它的一个最大无
4、关组（1）（2）α1=(1,0,1),α2=(0,1,-1),α3=(2,0,1)α4=(0,1,2)12解：（1）向量组线性无关，且就是一个最大无关组解：（2）向量组线性相关，或是最大无关组14已知向量组，，，，求向量组的秩。解:15已知向量组，，的秩为2，求t。解:若,则,所以.16讨论向量组，，，当为何值时，向量组线性相关。12解:若向量组线性相关,则所以,即四证明题1．设相乘可交换，且可逆，证明与相乘也可交换.证：由得故2．设是可逆的阶矩阵，求证证：由故线性代数练习题答案一．选择题１．（Ｃ） 。 ２．（Ｂ） 可代入验算。３．（Ａ,Ｃ,Ｄ）例如４．（Ｂ,Ｄ）部分组也含向量组本身
5、。５．（Ｃ）是的任意解，是的特解时，是的全部解． ６．（Ｃ）７．（Ｂ），由克莱姆法则知有唯一解。８．（Ｃ）二．填空题12１．，k是任意常数．２．３．，有关的三．计算题１．解：化为三角形行列式得：２．解：由范得蒙行列式结论得：３．解：按第一行展开计算得：４．解：将２,３,４行加到第一行提公因式化三角形得：５．解：，６．解：７．解：,，12８．解：同上题，９．解：增广矩阵(行最简阶梯阵)，，１0.解：对增广矩阵做初行变后类上题可得：，令为对应导出组的一个基础解系。１1.解：对增广矩阵做初行变后类上题可得：，令为对应导出组的一个基础解系。1212.解：对增广矩阵做初行变后可知当时，原方程组有
6、解，，通解为：13.(1)解：,(2)解：,14.解：,秩为2.15.解：,满足要求.16.解：,满足要求.四．证明题121.证明：分别左乘、右乘，得，或，结论得证。2.证明：由性质,现在又由性质知，故12
