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《seidel迭代法对于h-矩阵及其比较矩阵谱半径的影响》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Seidel迭代法对于H-矩阵及其比较矩阵谱半径的影响第24卷第5期工程数学Vo1.24No.52007fiE-10~CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSOct?2007文章编~:1005—3085(2007)05—0919—04改进的Gauss—Seidel迭代法对于日一矩阵及其比较矩阵谱半径的影响木孙丽英(广东教育学院数学系,广州510303)摘要:本文将改进的Gauss.Seidel迭代法应用于一类有很强应用背景的矩阵一H一矩阵及其比较矩阵,在较目前参考文献更一般的分裂条件下,得
2、到相应的收敛结果及谱半径的比较结果,进而比较了其收敛速度的大小.所用方法不同于以往有关结论,并改进了目前已有相关结论.关键词:IMGS迭代法;H一矩阵:M一矩阵:谱半径分类号:AMS(2000165F10中图分类号:O151.2文献标识码:A1引言本文考虑线性方程组Ax=b,X,b∈R",(1)这里A=(ai)∈R凡×n是非奇异矩阵.求解线性方程组(1)的问题不但在工程技术中涉及到,而且在计算方法其他分支的研究中,比如样条插值,最佳平方逼近,微分方程数值解等,也往往需要解这样的问题,因此它是一个应用相当广阔的分支.解此线性系
3、统有许多常用的古典迭代法.为了更好地解此线性系统,使相关的Jacobi与Gauss—Seidel迭代法比原来收敛得更快,许多学者考虑对(1)应用预处理子的方法,其共同的思想都是将(1)式改写为PAx=Pb,(2)其中P为左预处理子.近年来许多着名学者利用不同的预处理子,改进常用的古典迭代法,得到很多先进的结果.尤其在1997年Kohno[]等人利用预处理子尸=I+,提出改进的Gauss—Seidel迭代法(即IMGS方法),其中Sa=0--0/1a120000000..——0/2a23'0??00收稿日期:2005—12—0
4、6.作者简介:孙丽英(1965年生),女,硕士,教授.研究方向:非负矩阵论,数值代数.基金项目:广东省自然科学基金(7004344):广东省高校自然科学基金(z03095):广东教育学院中青年学术骨干培养项目.'n—n000一n一920工程数学第24卷并且证明了在适当选择参数i的条件下,这种IMGS方法优于其他迭代法.H一矩阵是一类有很强应用背景的矩阵,一直以来被许多数值代数研究者所关注.本文主要是将这种IMGS方法应用于H一矩阵及其比较矩阵,在较目前参考文献更一般的分裂条件下,得到相应的收敛结果及谱半径的比较结果,进而比较
5、了其收敛速度的大小,所用的方法不同于以往有关结论.2定义与符号我们需要以下的概念及引理定义1【.]设A=(.巧)∈R,若aij0,i≠J,则称A是Z一矩阵;若A=sI—B,B0,且p(B)s,则称是M一矩阵,其中p(B)是B的谱,径.定义2【.]设A=(a,)∈C,in,n,如tL.比较矩阵(A)=()是非奇异一矩阵,这里瓦J满足f={【ln,1.一lnzJi≠则称是Ⅳ一矩阵,我们用fAf=(1a,1)表示的元素取绝对值所得非负矩阵.定义3【2]如果是非奇异n阶方阵,则称A=M—N是的分裂:如果p(M_I1N1<1,则
6、称分裂=^一～是收敛的:如果是非奇异M一矩阵且Ⅳ>0,则称分裂=M一是M一分裂:如果()=(吖)一lⅣl,则称分裂A=M—N是一相容的分裂.引理112J设是Z一矩阵,则下列各款等价:11是jE奇异^一矩阵:21存在正向量,使得Ax》0:31的所有主子矩阵是非奇异"一矩阵:41的所有主子式均为正.引理2【3J设A=(aij)∈R并且A=I—一,ai,件1≠0(=1,2,…,n～1),其中是非负矩阵,L0是严格下二角非负矩阵.IMGS方法的迭代矩阵是=(—L一SL)一(一+S)我们用和分别表示T=:o:(I—L)和d:L+
7、.那么(a)对任意的∈[0,1],i=1,2,…,n一1,如果p(T)<1,则p(Tg)<1.此时我们有p()p(T)p(Y)<1,而且如果是不可约的,对于∈(0,1],i=1,2,…,n一1,有p()<p(T).(b)对任意的OLi∈[0,1),i=1,2,…,n一1,如果p(T)=1,则p()=1.在引理2中,我们注意到是z一矩阵时,p(T1<1等价于是吖一矩阵.引理3【2J设是H矩阵,则ll<(A)一1.引理4【2J设A=I—Lh—Uh是H一矩阵,其中Lh是严格下三角非负矩阵,是任意
8、矩阵,则A=I—Lh—Uh是的H一相容的分裂.证明由A…ILhUh,简单推算后易知(A)=(I—Lh)一IUhI,因而由定义3知:～Lh一是的H一相容的分裂.第5期孙丽英:改进的Gauss—Seidel迭代法对于H一矩阵及其比较矩阵谱半的影响9213比较结果对于n×n矩阵,我们在本文中总是
