回忆起了以前喜欢的平面几何

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1、回忆起了以前喜欢的平面几何，于是把我当时印象最深的几道题发一下，以此纪念曾经的爱好这里每一题我手头上都有至少两种以上的解法（当然，是纯几何证明方法，而不是使用正弦余弦定理或是代数方法或是高中解析几何的方法），其中每一题都有我自己的一个解法，不出意外，我的解法应该在网上或相关奥数书上找不到（找到了的话纯属巧合--b），剩下的大部分是我同学的解法，估计第一题的一个解法是流传比较广的。先放题吧，解法我还要再整理整理，大家可以先试试。不过先声明，这3道题，别看它们图形都非常简单，可是，都不是那么容易的题

2、，不要被它们的外表迷惑了。。。如果把它们比喻成淫类的话，都是城府极深滴淫。。。越不小看它们可能越容易解出来--。。。反正每一题当年都花了不少的时间，而且还是在很有状态的日子里（以前做过的人或做出来的人别告诉我你只用了不到一小时。。。我会情何以堪的--）PS：图都是用标准几何工具画的，非常精确，因为不画精确很容易得出错误结果，特别是第一题，顶角度数一画大了就会产生幻觉，然后一下子就做错了。。。1、如图，三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，顶角A为20度，D为AB边上一点，且AD=BC。求角ACD

3、的度数。2、如图，三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，顶角A为100度，D为边AB延长线上一点，且AD=BC。求角BCD的度数。（大家可能发现了吧，前两题蛮相似的，这可能有助于解题）3、如图，有一个半圆O，A和B分别是它圆弧上任意两点（我故意把AB两点画的不一样高，原因就是为了突出“任意”二字，不让人产生特殊性的幻觉--，这题解的是任意性的情况，而不是特殊性的情况，别把AB画的同样高或是假设它们是直径的两个点，那样就没意思了。。。），AC垂直于直径，垂足为C；BD也垂直于直径，垂足为D；BE又

4、垂直于半径OA，垂足为E。求证：DE=AC。俺手头上的几种解法第一题1、该解法是我一高中同学的解法，与地道君的解法基本一样，就是构造的基础边不同，证明过程稍有区别。如图。以AB边在右边构造等边三角形ABE，再连接CE。AB=AC、AB=BE=AE，所以AC=AE=BE=AB，所以三角形ACE是个顶角为40度的等腰三角形（60-20=40）。所以，底角AEC为70度（（180-40）÷2），所以角BEC为10度（70-60）。角CBE等于20度（80-60），所以它与角BAC相等，然后AD=BC、

5、AC=BE，所以三角形ACD≌三角形BCE（边角边），所以角ACD就等于角BEC，所以它为10度。2、该解法是在网上搜到的，堪称最简洁方法，不知道是谁想出来的，强烈赞一个。如图，以BC边在该三角形内部构造一个小小的萝莉等边三角形BCE~，再连接AE。此时我们可以快速证出AE是顶角BAC的角平分线，所以角CAE就等于10度。由等边三角形和AD=BC这两个条件可以证出CE=AD、角ACE=20度（80-60）=角DAC、公共边AC，所以三角形ACD≌三角形ACE，所以角ACD就等于角CAE，也就是1

6、0度。3、该解法是我本人想出来的，没有构造等边三角形，辅助线较多，所以证明过程比较繁琐些。。智商有限啊，有时还是佩服那些使用构造法的人。如图，延长CB至E点，使CE=AC（虽然没构造等边三角形，但也算间接构造了一个巨大的等腰三角形CAE），连接DE，再在DE上截取DF=AD，连接AF、连接AE、连接CF。其中CF与AB交于G点。辅助线作完了（虽然我想精简一下我这个解法，但貌似怎么弄都一条都不能少，郁闷）。立刻可以证出BE=BD、角CEA=角CAE=50度、角BED角=角BDE=40度、角FEA=

7、50-40=10度。然后，由DA=DF这个等腰三角形条件又可以立刻得出角DAF=角DFA=20度，所以角EAF=20-10=10度=角FAE，所以三角形DAF和三角形FAE也都是等腰三角形（好像证明出这些没啥用处==，但是为了和谐美，还是全部都证出来吧~）。好，现在还有几个等腰三角形我们可以证出来。CF公共边、CE=CA、FE=FA，所以三角形CFE≌三角形CFA，所以角FCE=角FCA=40度，再利用上面算出的很多角的度数，立刻可以得出三角形FCE和三角形FCA也都是等腰三角形。好，证等腰三角

8、形上瘾了，继续吧。。。--。由上面那么多证明出来的条件，可以轻易算出角DFG=80度，然后可以轻易证出三角形GBC≌三角形GFD（角角边），所以GC=GD，所以三角形GCD也是等腰三角形--b（等腰三角形真多。。。）。而角BGC=60度（由上面证出的条件可轻易算出），所以，角GDC=角GCD=30度，所以角ACD=30-20=10度。呼，这个方法真是看着累啊。。。多多包涵一下。。。第二题1、该解法是我一初中同学的解法，此同学非第一题的那个高中同学，该同学当年想了5个小时才弄出来，不过叫我想5个小