高考数学难点突破 难点31 数学归纳法解题

高考数学难点突破 难点31 数学归纳法解题

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1、难点31数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.●难点磁场(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c).●案例探究[例1]试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有:an+cn>2bn.命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,属★★★★级题目.知识依托:等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步

2、骤.错解分析:应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况.技巧与方法:本题中使用到结论:(ak-ck)(a-c)>0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1>ak·c+ck·a.证明:(1)设a、b、c为等比数列,a=,c=bq(q>0且q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)>2bn(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想>()n(n≥2且n∈N*)下面用数学归纳法证明:①当n=2时,由2(a2+c2)>(a+c)2,∴②设n=k时成立,即则当n=k+1时,(ak+1+ck+1

3、+ak+1+ck+1)>(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)>()k·()=()k+1[例2]在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-成等比数列.(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;(3)求数列{an}所有项的和.命题意图:本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托:等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析:(2)中,Sk=-应舍去,这一点往往容易被忽视.技巧与方法:求通项可证明{}

4、是以{}为首项,110为公差的等差数列,进而求得通项公式.解:∵an,Sn,Sn-成等比数列,∴Sn2=an·(Sn-)(n≥2)(*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=-由a1=1,a2=-,S3=+a3代入(*)式得:a3=-同理可得:a4=-,由此可推出:an=(2)①当n=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立.②假设n=k(k≥2)时,ak=-成立故Sk2=-·(Sk-)∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0∴Sk=(舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1-),得(Sk+a

5、k+1)2=ak+1(ak+1+Sk-)由①②知,an=对一切n∈N成立.(3)由(2)得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=0.●锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题,若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明:恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自

6、然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除110f(n),则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.62.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空题3.(★★★★★)观察下列式子:…则可归纳出_________.4.(★★★★)已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________,由此猜想an=_________.三、解答题5.(★★★★)用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除,其中n∈N*.6.(★★★★)若n为大于

7、1的自然数,求证:.7.(★★★★★)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.8.(★★★★★)设实数q满足

8、q

9、<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表达式,又如果S2n<3,求q的取值范围.参考答案难点磁场解:假设存在a、b、c使题设的等式成立,这时令n=1,2,3,有

10、于是,对n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2设n=k时上式成立,即Sk=(3k2+11k+10)110那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=(3k2+5k+12

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