自主招生历届笔试真题

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1、历届笔试真题2004年复旦大学保送生考试数学试题及解答（150分钟）一、填空题（每题8分，共80分）1．，则_________．2．已知，则的范围是___________．3．椭圆，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________．4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法．5．已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______．6．的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是___________．7．已知，则的最大值为_________

2、___．8．设是方程的两解，则=__________．9．的非零解是___________．10．的值域是____________．二、解答题（每题15分，共120分）1．解方程：．2．已知，，且，求．3．已知过两抛物线C1：，C2：的交点的各自的切线互相垂直，求．4．若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数历届笔试真题2004年复旦大学保送生考试数学试题及解答（150分钟）一、填空题（每题8分，共80分）1．，则_________．2．已知，则的范围是___________．3．椭圆，则椭圆内接矩形的周

3、长最大值是___________．4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法．5．已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______．6．的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是___________．7．已知，则的最大值为____________．8．设是方程的两解，则=__________．9．的非零解是___________．10．的值域是____________．二、解答题（每题15分，共120分）1．解方程：．2．已知，，且，求

4、．3．已知过两抛物线C1：，C2：的交点的各自的切线互相垂直，求．4．若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数历届笔试真题2004年复旦大学保送生考试数学试题及解答（150分钟）一、填空题（每题8分，共80分）1．，则_________．2．已知，则的范围是___________．3．椭圆，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________．4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法．5．已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为___

5、___．6．的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是___________．7．已知，则的最大值为____________．8．设是方程的两解，则=__________．9．的非零解是___________．10．的值域是____________．二、解答题（每题15分，共120分）1．解方程：．2．已知，，且，求．3．已知过两抛物线C1：，C2：的交点的各自的切线互相垂直，求．4．若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数有界．问函数在上是否有界？5．求证：．6．已知E为棱长为a的正方体ABCD—A1B

6、1C1D1的棱AB的中点，求点B到平面A1EC的距离．7．比较与的大小并说明理由．8．已知数列、满足，且，又，，求(1)；(2)．简单解答：一、填空题：1.2.3.204.二、解答题：5．证明1：=（而原式<1+=证明2：原式〈2006届清华大学自主招生数学试题及解答1．求最小正整数，使得为纯虚数，并求出．解答：，而纯虚数的幅角为，因此n=3,2．已知为非负数，，求的最值．解答：(1)(2)（3）利用x^4为凹函数的特性3．已知为等差数列，为等比数列，求的值．解答：1．求由正整数组成的集合，使中的元素之和等于元素

7、之积．解答：单元素集合{n}显然满足要求.如果中有两个元素a,b，其中a>b,那么a整除ab,而a不整除a+b，无解如果中有3个元素a,b，c，其中a>b>c,如果bc>=3，那么abc>=3a>a+b+c因此b=2,c=1，2a=a+3因此a=3如果中有k(k>=4)个元素a1,b…,ak，其中a1>a2…>ak,a1a2a3…ak>=a1a2a3>=a1(k-1)(k-2)>=a1(k-1)*2>a1*k>a1+a2+..ak，无解2．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．解答：

8、这个问题就是求最小的正整数n使得1-(1/2)^n>0.9,可的n=46．上一点(非原点)，在P处引切线交轴于，求．解答：设点7．已知满足：对实数有，且，求证恒为零．(可用以下结论：若，为一常数，那么)解答：首先f(0)=0,令g(x)=f(x)/x(x≠0)g(0)=0，由于,因此易得g(x+y)=g(x)+g(y)如果存在某点z≠0使的g(z)=t≠0那么g(kz)=