巧用单调性处理一类无理函数的值域

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1、巧用单调性处理一类无理函数的值域在中学数学教学中函数的值域问题一直以来都是一个重要的问题。对型如其中（c为常数）的无理函数的值域问题还没有一个统一的处理。本文从利用单调性角度谈谈这类无理函数的值域的处理，期望得到一个统一的方法。结论1若，在区间上单调递增。在区间上单调递减。证明：由若则即解出结合函数定义域得单调递增区间单调递减区间。同理可以证明结论2若，的单调递增区间为单调递减区间为结论3若时，在上是增函数而在上也是增函数在定义域上是增函数。若时，在上是减函数而在上也是减函数在定义域上是减函数。（证明略）下面以具体的例子说明这类无理函数值域的处

2、理。例1求函数的值域。解：先作变换，由可令则函数化为（）由结论1知当，即时是增函数此时，由结论2知当即时是减函数此时所以的值域为例2求函数的值域。分析：将函数转化为形式由换元令则函数化为（）解：由结论1知，当即时函数为是增函数，由结论2知当即时函数为是减函数，综上：的值域为说明：在转化时也可以化为类似处理。例3求函数的值域。分析：注意到前后两个根式都有故可以作代换，变为前面结论的形式。解：将函数变为（也可以变为）由换元令函数化为由结合定义域有所以由结论1知，当即函数是增函数，由结论2知当时函数是减函数，综上：的值域为例4求函数的值域。解：函数的

3、定义域为函数在上单调递减在上也是单调递减。由与结论3类似知在上是减函数。所以即值域为例5求函数的值域。解：先换元令由原函数知得函数（）由在上是单调递增的在上也是单调递增的在是增函数所以即值域为例6求函数的值域。解：换元令结合原函数有得函数（）由在上是单调递减的在上也是单调递减的在是减函数所以即值域为最后要指出的是在求函数其中（c为常数）的值域问题时，我们一定要把函数化为前面的三个结论形式，利用前面结论类似处理。