狄尼定理的证明（精选篇）

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1、狄尼定理的证明（精选7篇）以下是网友分享的关于狄尼定理的证明的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。[狄尼定理的证明篇一]为证明定理本身，我先证明几个引理。引理1(Bessel不等式)：若函数f(x)在[-p,p]上可积，则有a02¥1+å(an2+bn2)£òf2(x)dx30狄尼定理的证明（精选7篇）以下是网友分享的关于狄尼定理的证明的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。[狄尼定理的证明篇一]为证明定理本身，我先证明几个引理。引理1(Bessel不等式)：若函数f(x)在[-p,p]上可积，则有a02¥1

2、+å(an2+bn2)£òf2(x)dx30狄尼定理的证明（精选7篇）以下是网友分享的关于狄尼定理的证明的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。[狄尼定理的证明篇一]为证明定理本身，我先证明几个引理。引理1(Bessel不等式)：若函数f(x)在[-p,p]上可积，则有a02¥1+å(an2+bn2)£òf2(x)dx302n=1p-pa02m证明：设Sm(x)=+å(ancosnx+bnsinnx)2n=1pp2pp2p显然：ò[f(x)-Sm(x)]dx=-p-òpf(x)dx-2òf(x)Sm(x)dx+-p-òpS

3、n2m(x)dx30(*)a其中，òf(x)Sm(x)dx=02-ppp-òpf(x)dx+å(aòpf(x)cosnxdx+bòpf(x)sinnxdx)nn=1--mppp由傅立叶级数系数公式可以知道：pp-p2òf(x)Sm(x)dx=p2a0+på(an2+bn2)2n=1mma02mp2222S(x)dx=[+(acosnx+bsinnx)]dx=a+p(a+b)30ååmnn0nnòò2n=12n=1-p-p以上各式代入(*)式，可以得到：pp20£-pò[f(x)-Sm(x)]dx=另-pòf(x)dx-p22p2a0-

4、på(an2+bn2)2n=1mp2a0+på(an+bn)£22n=1m-pòf2(x)dx这个结果对于"mÎN均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据此可知“p2a0+på(an2+bn2)”这个级数的部分和有界，则引理1成立。2n=1m引理2：若函数f(x)是T=2p的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级数部分和Sm(x)可改写为：Sm(x)=1pp-pò1sin(m+)uduf(x+u)2sin2a02m证明：设Sm(x)=+å(ancosnx+bnsinnx)2n=1ppp11m=f(x)dx+å[(òf(x)cosn

5、xdx)cosnx+(òf(x)sinnxdx)sinnx]30ò2p-ppn=1-p-p=1pp-pò1111f(u)[+åcosn(u-x)]du=f(x+t)[+cosnt]dt=å2n=1p-pò-x2n=1p-òpmp-xmp1sin(m+)uduf(x+u)u2sin2我在下边给出一个比楼主强的结论！收敛定理：设f(x)是[a,b]的按段光滑函数,如果它满足:(1)在[a,b]只有有限个第一类间断点,在补充定义后它可积（应当指出：补充定义后，它已不是原来的函数）。(2)在[a,b]每一点都有f(x±0)，且定义补充定义后的

6、函数为f1(x)有：f(x+u)-f(x+0)f(x-u)-f(x-0)=f1(x+0)，lim=f1(x-0)30-u®0u®0uuf(x+0)+f(x-0)则f(x)的傅立叶级数在点x收敛于这一点的算术平均值，若2lim+在x连续，则收敛于f(x)。为方便，我仅证明f(x)是T=2p的在[-p,p]上的按段光滑函数(上述命题在此基础上稍加变换即可)，则当xÎ[-p,p]时有(其中an,bn是傅立叶级数系数)f(x+0)+f(x-0)a0¥=+å(ancosnx+bnsinnx)22n=11证明：由引理1容易可知：limòf(x)s

7、in(n+xdx=030(**)n®¥20f(x+0)+f(x-0)-Sm(x)]=0成立，则命题得证，而若lim[n®¥21psin(m+)uf(x+0)+f(x-0)f(x+0)f(x-0)1du]lim[-Sm(x)]=lim[+-òf(x+u)n®¥n®¥u222p-p2sin21psin(m+)u1du=1，注意这个式子是偶函数，则另外，òp-p2sin211psin(m+)upsin(m+)uf(x+0)du=f(x+0)òòu2p-p2sinup02sin221psin(m+)u1=0，则命题得证。30若limò[f(x

8、+0)-f(x+u)]n®¥pu02sin2uf(x+0)-f(x+u)记g(u)=uusin2uf(x+0)-f(x+u)有微积分知识limg(u)==-f1(x+0)，若g(0)=-f1(x+0)u®0+uusin2