届高考数学一轮复习第章数列第讲等比数列及其前n项和学案

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1、2019版高考数学一轮复习全册学案第3讲 等比数列及其前n项和板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 等比数列的有关概念1.定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,定义的表达式为=q.2.等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒G2=ab(ab≠0).考点2 等比数列的有关公式1.通项公式:an=a1qn-1.2.前n项和公式:Sn=[必

2、会结论]等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=a.(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{a},{an·bn},132019版高考数学一轮复习全册学案(λ≠0)仍然是等比数列.(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.(5)公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn

3、,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.(6)等比数列{an}满足或时,{an}是递增数列;满足或时,{an}是递减数列.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等比数列.(  )(2)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(  )(3)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.(  )(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(  )(5

4、)如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.(  )答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2.[2018·河南名校联考]在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=3,a9=a2a3a4,则公比q的值为(  )A.B.C.2D.3答案 D解析 由a9=a2a3a4得a1q8=aq6,所以q2=a,因为等比数列{an}的各项都为正数,所以q=a1=3.故选D.3.[课本改编]等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(  )A.B.-C.D.-答案 C解析

5、 由已知条件及S3=a1+a2+a3,得a3=9a1,设数列{an}的公比为q,则q2=9.所以a5=9=a1·q4=81a1,得a1=.故选C.4.[2018·黄冈调研]设等比数列{an}中,公比q=2,前n项和为Sn,则的值(  )A.B.C.D.答案 A解析 根据等比数列的公式,得====.5.[2015·全国卷Ⅰ]在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.132019版高考数学一轮复习全册学案答案 6解析 ∵a1=2,an+1=2an,∴数列

6、{an}是首项为2,公比为2的等比数列.又∵Sn=126,∴=126,∴n=6.6.[2018·衡中检测]在等比数列{an}中,若a4-a2=6,a5-a1=15,则a3=________.答案 4或-4解析 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),则两式相除,得=,即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.所以或故a3=4或a3=-4.板块二 典例探究·考向突破考向 等比数列的基本运算例 1 (1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖

7、头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(  )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案 B解析 设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则由题意知S7=381,q=2,∴S7===381,解得a1=3.故选B.(2)[2017·江苏高考]等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=________.答案 32解析 设{an}的首项为a1,公比为q,则两式相除得==,解得所以a8=×27=25=32.触类旁

8、通等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)所求问题可迎刃而解.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程.132019版高考数学一轮复习全册学案【变式训练1】 (1)[2018

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