绝对值的不等式的解法

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1、含有绝对值的不等式的解法 【学习目标】1.使学生掌握|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型的不等式的解法.2.使学生能够利用数形结合,分类讨论,方程与化归的思想解一些简单的绝对值不等式.【学习障碍】1.对绝对值的几何意义理解不到位.2.对于|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)两种类型的不等式的解法分辨不清.3.学生对数轴的利用率不够高.【学习策略】Ⅰ.学习导引1.预习课本P14~15.2.本节课的重点是|x|<a与|x|>a(a>0);|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型不等

2、式的解法,难点是对绝对值几何意义的理解.关于本节的知识点有以下几个:(1)一般地,不等式|x|<a(a>0)的解集是:{x|-a<x<a}.(2)不等式|x|>a(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}.(3)其推论为:|ax+b|<c(c>0)的解为:-c<ax+b<c|ax+b|>c(c>0)的解为ax+b>c或ax+b<-c.Ⅱ.知识拓宽1.不等式a≤|x|<b(b>a>0)的解法.图1—11可以利用绝对值在数轴上的意义直接得出a≤x<b或-b<x≤-a.也可以利用不等式组来解.[例1]解不等

3、式1≤|2x-1|<5.思路一:这是一个双连不等式,利用绝对值在数轴上的意义可以得出1≤2x-1<5或-5<2x-1≤-1,从而求出不等式的解.解:原不等式等价于1≤2x-1<5或-5<2x-1≤-1,即:2≤2x<6或-4<2x≤0.解得:1≤x<3或-2<x≤0.故原不等式的解集为{x|-2<x≤0或1≤x<3}①②思路二:将原不等式转化为进而求出①与②不等式解集的交集.解:原不等式等价于即①或②不等式组①的解为1≤x<3.不等式组②的解为-2<x≤0.故原不等式的解集为{x|-2<x≤0或1≤x

4、<3}误区点评:在进行原不等式等价转化时,容易发生以下失误.在第一种解法中,将不等式转化为1≤2x-1<5或-1≤2x-1<5,在第二种解法中,将不等式转化为.2.含有两个或两个以上的绝对值号的不等式的解法.[例2]解不等式|x+3|+|x-3|>8.思路一:这是一个含有两个绝对值符号的不等式,为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式,应进行分类讨论.解:令x+3=0,x-3=0,得x=-3或3.∴①,解得:x>4.②,解得:.③,解得:x<-4.取①②③的并集得原不等式的解为x>4或x<-4.点评:解

5、这类绝对值符号里是一次式的不等式如:|x-a|+|x-b|>c或|x-a|-|x-b|<c,|x-a|>|x-b|或|x-a|>x-b常用“零点分段法”.其一般步骤为:(1)分别求出每个绝对值为零的根,称之为零点;(2)将各零点在数轴上标出来,它们将数轴分成若干段;(3)依次对各段上的x进行讨论,求出相应所得不等式的解集;(4)取这些不等式解集的并集即得原不等式的解集.思路二:利用函数的图象解题.解:分别画出y1=|x+3|+|x-3|与y2=8的图象.图1—12y1=由图象观察可知:要使y1>y2,

6、只须x<-4或x>4.∴原不等式的解集为{x|x<-4或x>4}.思路三:利用绝对值的几何意义解题.解:|x+3|+|x-3|>8图1—13表示数轴上与A(-3),B(3)两点距离之和大于8的点,而|AB|=6,如图1—12.因此,要找与A、B距离之和为8的点,只须由点B右移1个单位,或点A左移一个单位,如图1—13.由图象可得:原不等式的解集为{x|x<-4或x>4}.点评:对于形如|x-a|+|x+b|>c,|x-a|-|x-b|<c,或|x-a|>|x-b|的不等式,利用不等式的几何意义或者画出

7、左右两边的图象去解不等式,更为直观,简捷.3.解关于x的绝对值不等式|ax+b|>c(a≠0).[例3]解不等式|ax+b|>c(a≠0).解:当c<0时,解集为R.当c>0时,得ax+b>c或ax+b<-c,即:ax>c-b或ax<-c-b.(ⅰ)a>0时,不等式的解集为{x|x>或x<-}(ⅱ)a<0时,不等式的解集为{x|x>-或x<}.当c=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠-}点评:在解含有字母的绝对值不等式时,要讨论字母的取值范围,考虑全面.[例4]解不等式|x+1|>2-x.思路一:

8、对2-x的取值分类讨论.(1)当2-x≥0时,(x+1)2>(2-x)2得<x≤2(2)当2-x<0时,不等式恒成立.∴x>2.∴不等式的解集为{x|x>}思路二:对x+1的取值进行分类讨论.解:原不等式等价于:或得:x>或.∴不等式的解集为{x|x>}.思路三:利用等价形式.解:原不等式等价于x+1>2-x或x+1<x-2,得x>或.∴不等式解集为{x|x>}.点评:对于|x|>a(a>0)x>a或x<-a.可推广为:f(x),g(x)是关于x的代数式

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