专题四 第3讲 空间向量与立体几何(理科独具)

专题四 第3讲 空间向量与立体几何(理科独具)

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1、1.(2011·东阳模拟)如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1)证明:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.解:(1)证明:因为AC是圆O的直径,所以∠ABC=90°,又∠BAC=30°,AC=4,所以AB=2,而BM⊥AC,易得AM=3,BM=.如图,以A为坐标原点,垂直于AC的直线、AC、AE所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由已知条件得A(0,0,0),M(0,3,0

2、),E(0,0,3),B(,3,0),F(0,4,1),∴=(0,-3,3),=(-,1,1).由·=(0,-3,3)·(-,1,1)=0,得⊥,∴EM⊥BF.(2)由(1)知=(-,-3,3),=(-,1,1).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),由n·=0,n·=0,得令y=1,得z=2,x=,∴n=(,1,2),由已知EA⊥平面ABC,所以平面ABC的一个法向量为=(0,0,3),设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ,则cosθ=

3、cos〈n,〉

4、==,故平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值

5、为.2.(2011·广州模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M.(1)求证:AM⊥PD;(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.∵AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD,∵BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM,∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM,∴AM

6、⊥PD.(2)如图所示,以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),M(0,1,1).∴=(1,2,0),=(0,1,1),=(-1,0,0).设平面ACM的一个法向量为n=(x,y,z),由n⊥,n⊥可得令z=1,得x=2,y=-1.∴n=(2,-1,1).设直线CD与平面ACM所成的角为α,则sinα==.∴cosα=.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为.3.(2011·海淀模拟)在如图的多面体中,EF⊥平面AE

7、B,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.(1)求证:AB∥平面DEG;(2)求证:BD⊥EG;(3)求二面角C-DF-E的余弦值.解:(1)证明:∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.又∵BC=2AD,G是BC的中点,∴AD綊BG,∴四边形ADGB是平行四边形.∴AB∥DG.∵AB⊄平面DEG,DG⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG.(2)证明:∵EF⊥平面AEB,AE⊂平面AEB,BE⊂平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE,又AE⊥EB,∴EB,EF,EA

8、两两垂直.以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0).∴=(2,2,0),=(-2,2,2).∴·=-2×2+2×2=0.∴BD⊥.(3)由已知得=(2,0,0)是平面EFDA的一个法向量.设平面DCF的法向量为n=(x,y,z),∵=(0,-1,2),=(2,1,0),∴即令z=1,得n=(-1,2,1).设二面角C-DF-E的大小为θ,则cosθ=cos〈n,

9、〉=-=-,∴二面角C-DF-E的余弦值为-.4.(2011·新课标全国卷)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.解:(1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=AD.从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空

10、间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1).=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则即因此可取n=(,1,).设平面PBC的法向量为m,则可取m=(0,-1,-).则cos〈m,n〉==-.故二面角A-PB-C的余弦值为-.5.(20

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