lotka&volterra模型基于matlab的两种离散方法及分析

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1、Lotka&Volterra模型基于MATLAB的两种离散方法及分析张璐天津商业大学理学院数学与应用数学系06-1班Email:luzhangzzc@hotmail.com韩博天津商业大学理学院数学与应用数学系06-1班Email:hanbo19870924@hotmail.com摘要Lotka和Volterra提出了一个关于两种生物竞争的动态模型该微分方程有四个稳定点：、、、当系数满足(1)时，方程的解将收敛于；而当方程的系数满足(2)时，方程的解将会分别按区域收敛于，，三个点。Sole，Bascompte和Valls对上述L&V模型进行了第一种离散

2、：根据这种离散形式，我们用MATLAB编程分别就条件(1)、(2)画出斑图。根据分析，这种离散模型存在缺陷，它无法满足与原微分方程组同样的稳定性，必须在编程中加入边界限制条件才可得出对较好的对原系统的模拟结果。为了改进第一种离散方法的缺陷，我们在对原方程论证的基础上引入了第二种离散模型：根据分析，上述离散很够很好的满足原微分方程组的性质。我们同样用MATLAB画出斑图。最后，我们利用两种离散模型画出的斑图做像素分析，证明第二种离散方法同样能够很好的模拟原微分方程组的解的情况。因此，我们得出结论，经过改进的离散方式要优于第一种离散方式。关键词斑图L&V生

3、物竞争模型离散模型像素分析MATLAB一、导论Lotka和Volterra提出了一个关于两种生物竞争的动态模型，随后Margalef提出，研究生态组织的活动时必须考虑空间因素对生态活动的影响。在Lotka和Volterra的研究中，他们首先考虑了由两个简单微分方程组成的系统：(1.1)其中，表示两种生物的种群数量。，表示两种生物的生长率。，分别表示一定的环境对这两种生物最大的承载量。，表示这两种生物的相互竞争作用对各自种群数量所产生的影响。(1.1)又可改写为如下形式：(1.2)其中，，，。上式即等价于两种群竞争的Logistic模型：(1.3)、代表

4、两个种群的生长率，、分别为两种群的种内竞争系数，、分别为两种群的种间竞争系数。易得，该微分方程组有如下四个稳定点：、、、其中，可以计算得到：，并且这组解满足：当系数满足条件：方程的解将收敛于如下图所示当方程的系数满足条件：时，方程的解将会分别按区域收敛于，，三个点。如下图所示二、第一种离散变换将看作一个连续的时间变量，取步长，满足。则(1.3)可转化为：等价于先对绝对对称的模型进行讨论，即，，，，，离散方程简化为如下形式：(1.4)这就是Sole，Bascompte和Valls在对Lotka&Volterra模型进行研究时采用的一种离散形式。容易看出，

5、当时，不满足条件，这时方程是不稳定的，一旦给予小的扰动，就会产生排他现象，而体现在种群竞争上就是会出现两个生物种群激烈竞争，最终甚至产生不能共存的现象。而时，满足条件，系统是稳定的，体现在种群竞争上就是两个生物种群最终按照一定比例达到一种共存的状态。如果将空间划分成的矩阵，那么方程变为其中，、是扩散项，即对原方程的解的扰动，、是扩散系数。由于生物种群的特点，即下一时刻的种群密度会受包围它的各个地点的种群密度的影响，因此我们选择拉普拉斯算子：作为扩散项。易知系统是在一个封闭的区域内进行扩散迭代，即扩散项迭代计算满足下列条件：Sole，Bascompte和

6、Valls在他们的研究中指出：由于生物竞争的特点，必须避免负数出现，故提出一个约束条件：如果，则令。然后他们分别对分情况讨论，并且画出图灵斑图，以图灵斑图的颜色体现出在一定空间范围内生物种群密度。我们用MATLAB进行编程模拟，在给定了各系数初值的条件下，将迭代格式(1.4)输入计算机进行迭代运算。其中我们选取30阶的矩阵，迭代次数为100次。1、的情况按照前面对方程的分析，不论初值是什么情况，都应该收敛于即在两种物种能够按照一定的比例共存。表现在图片中即每个种群所对应的图片应该为一种纯色（像素由仅系数决定）。由于我们是在绝对对称的前提下做出模拟，因此

7、两个种群所对应的图片颜色应该一致。见下图：图表1a利用、画出来的图2、在这种条件下，方程的解会按区域收敛于三点：，，其中即表现出激烈的竞争现象，并且最终达到排外的特点。表现在图片上就是在每个种群所对应的图片中，都应该有像素为0的区域，而且两个种族所对应的图片应该具有对称性。图表1b利用、画出来的图灵斑图三、对第一种离散方法的评价直观上来看，上述各模拟图中所显示的迭代结果的特性似乎完全与前面的理论分析相吻合。然而，事实上以上第一种对(1.3)进行的离散方法本身存在巨大缺陷。首先我们来看如下简单Logistic模型：式中是固有增长率，是一定的环境中容许的最

8、大种群数量。该模型是对现实环境的简化，我们可以看到，任意时刻，种群中的个体总量的变化率可能增大