线性方程组的解及其应用

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1、线性方程组的解及其应用北京电力高等专科学校学报4月科学技术与应用线性方程组的解及其应用河南省驻马店广播电视大学机电系河南驻马店463000党艳霞摘要:(1)如何利用行列式,矩阵判断线性方程组的解(2)线性方程组解的应用关键词:向量;向量组;矩阵的秩中图分类号:O1文献标识码:B文章编号:1009-0118(2009)一04?0133—031向量,向量组及矩阵的秩的概念1.1向量及向量组1.I.1向量:n个有次序的数a1,a2,……,an所组成的数组称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数ai称为第i个分量.n维向量可写成一行

2、,也可写成一列,分别称为行向量和列向量,也就是行矩阵和列矩阵.并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算.本文中,列向量用黑体小写字母a,b,O,p等表示,行向量则用a,b,Ⅱ,p等表示.本文所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量.1.1.2向量组:若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.m个n维列向量所组成的向量组A:al,,……,‰构一个nxm矩阵A=(ol,Ⅱ2,……,‰)m个II维行向量所组成的向量组B:pl,p2T,……,13构成一个m×n矩阵B=;:1.1.3向量与矩阵:在矩阵分

3、块的定义中,有两种特殊的分块,就是按行分块和按列分块.mxn矩阵A有m行,称为矩阵的m个行向量,第iail'ai2,……,am),则矩阵A便记为mxn矩阵A有rl列,称为矩阵A的n个列向量,若第i列记作0ciala2j,,!『则A=(Ol,O2,……,)由此可见,向量与矩阵是紧密相连的,把矩阵按行或列分块,便可得到向量,而把向量放在一起,便可由向量组得到矩阵.故,含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.1.2矩阵的秩1-2.1k阶子式的定义:在mxn矩阵A中,任取k行与k列(m,kS_n),位于这些行列交叉处的k'-~-元素,不改变它们

4、在A中所处的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.1.2.2矩阵的秩;设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于O,那么D称为矩阵A的最高阶非零子式,数r称为矩阵A的秩,记作R(A).并规定零矩阵的秩等0.由定义看出,矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数.1.2.3对于11阶矩阵A,由于A的n阶子式只有一个lAl,故当fAJgO时,R(A).n;当fAl=0时,R(A)<n,可见,可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数.因此,可逆矩阵又称为满秩矩阵,不可逆矩阵(奇迹矩阵)又称为降秩

5、矩阵.显然,若A为mxn矩阵,则0'5_R(A)_<min(Ill.r1).2线性方程组的解2.1定理1:n元线性方程组AX=b(i)无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)(ii)有惟一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)133;●行2009年4月=II(iii)有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n综合(ii)和(iii),又可得定理1':线性方程组AX=b有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)由上述定理,可看出方程AX=b是否有解,主要看系数矩阵A和增广矩阵(A,b)的秩的关系,以及它们和

6、未知数个数的关系.如果把系数矩阵A按列分成n块,则与A相乘的x应对应地按行分成n块,从而记作(=b即1l+22+…+b(1)(1)式是线性方程组AX=b的变形.今后,它将与AX=b混同使用而不加区分,并称为线性方程组或线性方程.2.2当b=0时,方程则为齐次线性方程组AX=0因为R(A)=R(A,0),由定理1',线性方程组恒有解,把定理1(i)排除了.又因为零向量满足线性方程AX=0,故齐次线性方程组恒有零解.故,对于齐次线性方程AX--0,主要看其方程是否有非零解.由定理1(ii),若R(A)_n,则齐次线性方程只有惟一解,即零解;

7、有定理l(iii),若R(A)<n,则齐次线性方程有无限多解,即:除了零解外,还有非零解.因此我们可得到定理1":n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n2.3当系数矩阵A为方阵时,又可得下述定理定理2:如果线性方程组AX=b的系数行列式D#0,则方程组一定有解,且解是惟一的.定理2':如果线性方程组AX=b的系数行列式D=0,则方程组无解或有无限多解.定理3:齐次线性方程组AX=0没有非零解的充分必要条件是线性方程组的系数行列式D≠O定理3':齐次线性方程组AX--0有非零解的充分必要条件是线性方程组

8、的系数行列式D=0当线性方程组的系数行列式D≠0时,系数矩阵A为满秩矩阵,R(A)=n,由定理1(ii)知,可得定理2和定理3;当D=0时,R(A)<n,由定理1"可得定理3',134但R(A)和R(