与轴对称相关的线段之和最短问题

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1、与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰QQ1519819521一．问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形

2、式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。二．数学模型：1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P

3、A与点P到射线OM的距离之和最小6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型(一)直线类1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M则AM+BM=AM+B'M

4、=AB'，水厂建在M点时，费用最小如右图，在直角△AB'E中，AE=AC+CE=10+30=40EB'=30所以：AB'=50总费用为：50×3=150万2．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。的最小值(1)AC=，CE=则AC+CE=+(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小连接AE，交BD于点

5、C，则AE就是AC+CE的最小值最小值是10(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角△AEF中,AF=5EF=12根据勾股定理AE=133．求代数式（0≤x≤4）的最小值如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角△AEF中AF=3EF=4则AE=5所以，这个代数式的最小值是5(二)角类4．两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析这是一个实际问题，我们需

6、要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明. 解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.点评：在这里没有

7、详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。5．如图∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，则OP=OP1=OP2=10且∠P1OP2=90°由勾股定理得P1P2=10(三)三角形类6．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为即在AC上作一点P，使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B'

8、，连接B'E，交AC于点P，则B'E=PB'+PE=PB+PEB'E的长就是PB+PE的最小值在直角△B'EF中，EF=1，B'F=3根据勾股定理，B