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时间:2018-07-20
《高考数学人教a版(理)一轮复习【配套word版文档】:第九篇 第5讲 双曲线》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第5讲双曲线A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( ).A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),由PF1的中点为(0,2)知,PF2⊥x轴,P(,4),即=4,b2=4a,∴5-a2=4a,a=1,b=2,∴双曲线方程为x2-=1.答案 B2.(2012·湖南)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线
2、上,则C的方程为( ).A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析 不妨设a>0,b>0,c=.据题意,2c=10,∴c=5.①双曲线的渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在C的渐近线上,∴1=.②由①②解得b2=5,a2=20,故正确选项为A.答案 A3.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( ).A.-2B.-C.1D.0解析 设点P(x,y),其中x≥1.依题意得A1(-1,0),F2(2,0),则有=x2-1,y2=3(x2-1),·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1
3、)(x-2)+y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=42-,其中x≥1.因此,当x=1时,·取得最小值-2,选A.答案 A4.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ).A.3B.2C.D.解析 设双曲线的方程为-=1,椭圆的方程为+=1,由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线
4、,且C1的右焦点为F(,0),则a=________,b=________.解析 与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ(λ>0),即-=1.由题意知c=,则4λ+16λ=5⇒λ=,则a2=1,b2=4.又a>0,b>0,故a=1,b=2.答案 1 26.(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为________.解析 由题意得m>0,∴a=,b=.∴c=,由e==,得=5,解得m=2.答案 2三、解答题(共25分)7.(12分)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2
5、,且
6、F1F2
7、=2,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程;(2)若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.解 (1)由已知:c=,设椭圆长、短半轴长分别为a,b,双曲线半实、虚轴长分别为m,n,则解得a=7,m=3.∴b=6,n=2.∴椭圆方程为+=1,双曲线方程为-=1.(2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则
8、PF1
9、+
10、PF2
11、=14,
12、PF1
13、-
14、PF2
15、=6,所以
16、PF1
17、=10,
18、PF2
19、=4.又
20、F1F2
21、=2,∴cos∠F1PF2===.8.(13分)
22、(2012·合肥联考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;(3)求△F1MF2的面积.(1)解 ∵e=,∴设双曲线方程为x2-y2=λ.又∵双曲线过(4,-)点,∴λ=16-10=6,∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明 法一 由(1)知a=b=,c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴kMF1=,kMF2=,∴kMF1·kMF2==,又点(3,m)在双曲线上,∴m2=3,∴kMF1·kMF2=-1,MF1⊥MF2,·=0.法
23、二 ∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)(3-2)+m2=-3+m2.∵M在双曲线上,∴9-m2=6,∴m2=3,∴·=0.(3)解 ∵在△F1MF2中,
24、F1F2
25、=4,且
26、m
27、=,∴S△F1MF2=·
28、F1F2
29、·
30、m
31、=×4×=6.
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