直线与圆锥曲线的位置关系

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1、直线与圆锥直线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线，圆锥曲线，由，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去便得到关于的一元二次方程（当然，也可以消去得到关于的一元二次方程），通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表：　　注意：（1）直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不

2、是充分条件；（2）由于抛物线及双曲线问题的特殊性，有时借助于数形结合可能会更直观、更方便，我们知道：当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切.2．应用例1若直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，求的取值范围．解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．解：由椭圆方程及椭圆的焦点在轴上，知．由得．又直线与椭圆总有公共点，上述方程对一切实数成立，即，亦即对一切实数成立．，即．故的取值范围为．解法二：由于直线过定点，而直线与椭圆总有公共点，所以定点必在椭圆内部或

3、边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．　　另解：由椭圆的方程及椭圆的焦点在轴上知．　　又直线与椭圆总有公共点．　　直线所经过的定点必在椭圆内部或边界上．　　，即．　　故的取值范围为．　　评析：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．例2已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值．解：联立方程（1）当时，此方程组恰有一解为（2）当时，消去，整理得．若，则方程组恰有一解为若，令，可解得．所以，当时，原直线与曲线恰有一个公共点．评析：上面三

4、个解的几何意义是：当时，曲线蜕化成直线，此时已知直线为，它恰有一个交点；当时，直线与抛物线对称轴平行，恰有一个交点；当时，直线与抛物线相切．