定积分在物理中的应用-2

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1、定积分在物理中的应用目录：1定积分的定义第2页2定积分的几何意义第3页3变力作功第4页4质点作变速直线运动的路程第5页5曲边梯形的面积第6页6引力问题第9页7水压力问题第12页定积分在物理中的应用摘要：定积分在物理学中应用，可以说是定积分最重要的应用之一。正是由于微积分的发展，使得物理学中精确测量，计算成为可能，从而使物理学得到长足发展。关键字:定积分物理定积分的定义：设函数f(x)在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点a=<<...<<=b把区间[a，b]分成n个小区间[，]，..

2、.[，]。在每个小区间[，]上任取一点(≤≤)，作函数值f()与小区间长度的乘积，并作出和如果不论对[a，b]怎样分法，也不论在小区间上的点怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，　　记作：即：定积分的几何意义当时，是曲边梯形的面积当时，是曲边梯形的面积的负值定积分可视为对连续量求和离散量求和自变量从1离散地变到n连续量求和自变量连续地从变到对积分变量的说明：，只是求和指标，是哑元用什么字母表示无关同理注意：这与不定

3、积分有本质的区别，不定积分中，积分变量是不能随便改的两个规定：1、当时，规定2、当时，规定这个等式不论a，b谁大谁小均成立例1变力作功．—个质量为m的人造卫星，要把它从地面送上太空，要计算地心引力对它作的功，如果把铅垂线选作轴，则这时的力为。常力作功：（功=力距离）变力是随变化的连续量，功具有可加性，考虑将其一点点求和。因此这是个连续量连续作用的积累问题．分4步解决1、分割在区间中插入个分点．。第个小区间为，长度为，2、取近似当很小时，可以认为的变化较小，取，则质点从到过程中，力所作的功3、求和力

4、所作的总功4、取极限记，则例2质点作变速直线运动的路程．设质点作变速直线运动，速度为，求质点在时间间隔内所走过的路程，匀速直线运动：路程=速度时间．变速怎么样？路程具有可加性因此这是个连续量连续作用的积累问题．分4步解决1、分割在区间中插入个分点：。第个小区间为，长度为，2、取近似当很小时，可以认为的变化较小，取，则质点从到过程中，所走过的路程3、求和在内走过总路程4、取极限记，则例3曲边梯形的面积所谓曲边梯形，是指由三条直边及一条曲边所围成的图形。垂直于底边的直线交曲边只有一点。设三条直边为，，

5、曲边是连续曲线分4步解决1、分割在区间中插入个分点．。第个小区间为，长度为，2、取近似当很小时，可以认为的变化较小，取，则小曲边梯形的面积近似于3、求和曲边梯形的面积4、取极限记，则设想曲边梯形是由线段当从a变到b时扫出来的（图7-5）。如果函数等于常数，这时图形是矩形，面积很易求得。对一般的连续函数，困难就在于当从a变到b时，也在连续的变化。因此，求曲边梯形的面积，也就是求一个连续量连续变化的“积累”问题，从这个意义来看，例3是例1、例2的几何“解释”。这些例子，都归结为求某种和式的极限。我们把

6、它概括抽象出来，便得到下面的定积分定义。定义设函数在区间上有定义．用分点将区间任意分成n个小区间，小区间的长度为，记，在每个小区间上任取一点，作和式．若当时，和式的极限存在（设为I），则称在是可积的，极限值I称为在的定积分，记作．概括起来，也就是注1这是一种新的极限注2极限的存在与否与的分法无关，与的取法无关！注3和式称为黎曼和分别称为积分下限和积分上限，积分区间称为被积函数，称为积分变量定积分是一个数，是黎曼和的极限等价定义：，，当时，有，，对的任意分法及，当时，有注意两个任意——对区间的分法任

7、意和在子区间的取法任意。正因为此，使黎曼和的极限比通常函数的极限复杂得多。对函数极限，当时，对每个来说，是唯一确定的；而对黎曼和极限，当时，不是唯一确定的，这时，区间的分法有无穷多种，对每一个分法，的取法又有无穷多种。等价定义：设在有定义，是一个确定的数，若，，对的任意分法及，当时，有则称为在的定积分，记作．并称在可积。变力使质点沿直线从移到时所作的功是在的定积分（作用的方向与位移的方向重合）变速直线运动的质点所走过的路程是速度在时间区间上的定积分，即例四引力问题质量分别为，的质点，相距r，二者间

8、的引力：大小：方向：沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决.设有一长度为l，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M.式计算该棒对质点的引力.解：建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为（分割）故垂直分力元素为（取近似）棒对质点的引力的垂直分力为（求和取极限）棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为说明1.当细棒很长时，可视为无穷大，此时引力大小为（极限思想）方向与细棒垂直且指向细棒.1.若考虑质点克服引力沿y轴从a处移动到b（a