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1、含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文含参量反常积分的一致收敛判别法及推广作者：蒋碧希指导老师：张海摘要本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用.关键词含参量无穷限反常积分含参量瑕积分一致收敛1引言对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参
2、量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用.2含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法2.1含参量无穷限反常积分的定义设函数f(x,y)定义在无界区域R?{(x,y)
3、a?x?b,c?y???}上，若对每一个固定的x?[a,b]，反常积分???cf(x,y)dy(1)都收敛，则它的值是x在[a,b]上取值的函数，当这个函数为I(x)时，则有??I(x)??cf(x,y)dy,x?[a,b],(2)称(1)式为定义在[a,b]上的含参量x的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.2.2含参量反常积分的一致收敛概念若含参量反常积分(1)与I(x)对任给的正数?，总存在某一实数N?
4、c，使得当M?N时，对一切x?[a,b]，都有?即Mcf(x,y)dy?I(x)??,共15页安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文???致收敛.Mf(x,y)dy??，则称含参量反常积分(1)在[a,b]一致收敛于I(x)，或简单地说含参量积分(1)在[a,b]上一2.3含参量无穷限反常积分一致收敛的柯西准则含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛的充要条件是：对任給的正数?，总存在某一实数M?c，使得当A1,A2?M时，对一切x?[a,b]，都有?A2Af(x,y)dy??,1证明（必要性）由于含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛，???0,?M?0,?
5、A1,A2?M时，使得?x?[a,b]时，有???Af(x,y)dy??1,且???Af(x,y)dy??2由?A2Af(x,y)dy?(x,y)dy?1???Af1???Af(x,y)dy2????Af(x,y)dy?f(x,y)dy1???A2??????可知：???0,?M?0，当A1,A2?M时，有?A2Af(x,y)dy??.1（充分性)因为???0，总存在某一实数M?c，使得A1,A2?M时，对一切x?[a,b]，都有?A2Af(x,y)dy??,1当A2???时，有共15页(3)则对安庆师范学院数学与计算科学学院2012届毕业论文???故A1f(x,y)dy??
6、成立.???在[a,b]?[A1,??)上是一致收敛的.又因为A1f(x,y)dy?其中??cf(x,y)dy??f(x,y)dy??cA1??A1f(x,y)dy,?A1cf(x,y)dy是含参量正常积分，故一致收敛.??c所以?f(x,y)dy在[a,b]?[c,??)上是一致收敛的.2.4含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系定理2.4.1含参量反常积分(1)在[a,b]上一致收敛的充要条件是：对任一趋于??的递增数列{An}（其中A1?c），函数项级数??n?1?An?1Anf(x,y)dy??un(x)(4)n?1?在[a,b]上一致收敛.证明(必
7、要性）由(1)在[a,b]上一致收敛，故对任给??0，必存在M?c，使当A"?A'?M时，对一切x?[a,b]，总有?A"A'f(x,y)dy??.(5)又由An???(n??)，所以对正数M,存在正整数N,只要当m?n?N时，就有Am?An?M.由(5)对一切x?[a,b]，就有un(x)???um(x)???Am?1Amf(x,y)dy????An?1Anf(x,y)dy?Am?1Anf(x,y)?y?.这就证明了级数(4)在[a,b]上一致收敛.(充分性)用反证法.假若(1)在[a,b]上不一致收敛，则存在某个正数?0，使得共15页安庆师范学院数学与计算
8、科学学院2012届毕业论文"'对于任何实数M?c，存在相应的A?A?M和x'?[a,b]，使得?A"'Af(x',y)dy??0,现取M1?max{1,c}，则存在A2?A1?M1及x1?[a,b]，使得?A2A1f(x1,y)dy??0一般的，取Mn?max{n,A2n?1}(n?2)，则有A2n?A2n?1?Mn及xn?[a,b]，使得?A2nA2n?1f(xn,y)dy??0(6)n??由上述所得到的数列{An}是递增数列，且limAn???.现在考察级数?un(x
