常微分期末考试试题和答案1

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1、《常微分方程》期末考试试卷（1）班级学号姓名成绩题号一二三总分分数得分.一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只与有关的积分因子的充要条件是。2、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是。3、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。4、函数称为在矩形域Ｒ上关于满足利普希兹条件，如果。5、当时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。6、若是的基解矩阵，则满足的解。7、若为n阶齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为。8、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程的解。9、如果在上且关于满足李

2、普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中，。5得分二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程的解。11、求方程通过点的第二次近似解。12、求非齐线性方程的特解。13、求解恰当方程。14、求伯努利方程得分三、证明.（20分）15、1)试验证初值问题，的解为:;2）求该微分方程组的expAt。试卷（1）答案一、填空（每格3分，共30分）1、方程有只与有关的积分因子的充要条件是。2、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是。53、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是，C为非奇异常数矩阵。4、函数称为在矩形域Ｒ上关于满足利普希兹

3、条件，如果存在常数Ｌ>0，对于所有都有使得不等式成立。5、当时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。6、若是的基解矩阵，则满足的解。7、若为n阶齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为，其中是任意常数。8、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程y=y+的解。9、如果在上连续且关于满足李普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中，。二、计算题(每题10分,共50分)10、求方程的解。解：原式可化为分离变量得两边积分后5即故原方程的通解为11、求方程通过点的第二次近似解。解：令则12、求非齐线性方程的特解。解：线性方程的特征方

4、程，故特征根。又，是特征单根，所以原方程有特解，将其代入原方程得，B=0。故原方程的特解为。13、求解恰当方程。解：，.则.所以此方程为恰当方程。凑微分，得14、求伯努利方程解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=5带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.三、证明.（20分）15、1)试验证初值问题，的解为:;2）求该微分方程组的expAt。1）证明：解得此时k=12）解：由公式expAt=得5