3.1 常微分方程 课后答案

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1、习题3.11求方程=x+y通过点(0,0)的第三次近似解；解：取=2求方程=x-y通过点(1,0)的第三次近似解；解：令则=3题求初值问题：R：1，1的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为M=max{}=4则h=min(a,)=则解的存在区间为==令=0;=y+dx=x+;=y+dx=x---+又=L则：误差估计为：=4题讨论方程：在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为=在y上存在且连续；而在上连续由有：=（x+c）又因为y(0)=0所

2、以：=x另外y=0也是方程的解；故方程的解为：=或y=0;6题证明格朗瓦耳不等式：设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间上的连续非负函数，且满足不等式：f(t)k+,则有：f(t)kexp(),证明：令R（t）=,则(T)=f(t)g(t)(T)-R(t)g(t)=f(t)g(t)-R(t)g(t)kg(t)(T)-R(t)g(t)kg(t);两边同乘以exp(-)则有：(T)exp(-)-R(t)g(t)exp(-)kg(t)exp(-)两边从到t积分：R(t)exp(-)-exp(-)ds即R(t)exp(-

3、)ds又f(t)1k+R(t)k+kexp(-)dsk(1-1+exp(-)=kexp()即f(t)k;7题假设函数f(x,y)于（x,y）的领域内是y的不增函数，试证方程=f(x,y)满足条件y(x)=y的解于xx一侧最多只有一个解；证明：假设满足条件y(x)=y的解于xx一侧有两个(x),(x)则满足：(x)=y+dx(x)=y+dx不妨假设(x)(x)，则(x)-(x)0而(x)-(x)=dx-dx=dx又因为f(x,y)在（x,y）的领域内是y的增函数，则：f(x,(x))-f(x,(x))0则(x)-(x

4、)=dx0则(x)-(x)0所以(x)-(x)=0，即(x)=(x)则原命题方程满足条件y(x)=y的解于xx一侧最多只有一个解；