专题应用题 - 北京四中

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1、专题复习：应用题复习目标：　　1．学会审题：题意较难理解是应用题的特点，所以对应用题必须认真仔细反复阅读，弄清题目所反映的实际背景，弄清每一个名词、概念的含义，分析已知条件，明确所求结论，把实际问题转化为数学问题。　　2．正确建模与解模：在审题的基础上，联想数学知识和方法恰当地引入参数或适当坐标系，列出满足题意的数学关系式或作出满足题意的几何图形。解模时要特别注意：（1）所建模型中函数自变量的实际意义。（2）解模涉及的近似计算要保持一定的精确度。·应用题的常见类型及对策：（1）与函数、方程（组）、不等式（组）有关的题

2、型　　常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题，也常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。　　解决这类问题一般要利用数量关系，列出有关解析式，然后运用函数、方程、不等式有关知识和方法加以解决，尤其对函数最值，均值定理用的较多。（2）与数列有关的问题　　常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的实际问题。　　解决这类问题常构造等差数列、等比数列，利用其公式解决或通过递推归纳得到结论，再利用数列知识求解。（3）与空间图有关的题型：　　常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有

3、关。　　解决此类问题常利用立体几何，三角方面的有关知识。（4）与直线、圆锥曲线有关的题型　　常涉及定位，人造地球卫星，光的折射，反光灯、桥梁等实际问题。　　常通过建立直角坐标系，运用解析几何来解决。（5）与正余弦定理及三角变换有关题型，常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。（6）与排列组合有关的问题，适用排列组合知识解决。·典型例题分析：例1．（1994年全国高考试题，难度：文0.16,理0.29）　　在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，使得几次测量分别得到a1,a2,……an共n个数据，我们规定的测量

4、的物理量的“最佳近似值”a是这样的一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1,a2,……,an推出的a=____________。分析：依题意，这里求使f(a)=(a-a1)2+(a-a2)2+……+(a-an)2取最小值时，a的取值。　　由于f(a)=na2-2(a1+a2+……+an)a+(+……+),n∈N.　　故当a=时，f(a)最小。评述：本题首先要正确理解题意，并能把文字语言转化成符号语言，还要熟悉有关的数学模型。例2．某工厂产值连续三年持续增长，这三年的增长率分别为x1,x2

5、,x3,则年平均增长率P=_________。分析：首先要解决两个问题：什么叫年增长率，什么叫年平均增长率，年增长率是指，三年的年平均增长率不是，如果设去年的产值为a，则今年开始的第三年的产值为a(1+P)3，依题意，今年（第一年）产值为a(1+x1)，第二年产值为a(1+x1)(1+x2)，第三年的产值为a(1+x1)(1+x2)(1+x3)，所以：a(1+P)3=a(1+x1)(1+x2)(1+x3)∴P=-1.例3．某电脑用户计划使用不超过500元的奖金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盒，根据需要

6、，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（　）。A、5种　　　B、6种　　　　C、7种　　　D、8种解析：设软件和磁盘分别为x片，y盒，则解该不定不等式可得：（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（5，2），（6，2）共7种。故选C。例4．今有一组实验数据如下：t1.993.04.05.16.12V1.54.047.51218.0现准备下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的是（　）A、V=log2t　　B、V=t　　C、V=　　D、V=2t-2解析一：描点，作图

7、，观察，图象近似的抛物线上的点，故选C。解析二：将数据分别代入函数检验，比较时，法（1）可用求出的各个V值与实际表中V值作差求和。法（2）可用求出的各个V值与实际表中V值作差取绝对值求和。例5．铁路线上的AB段长100公里，工厂C到铁路的距离CA为20公理，已知铁路每吨公里与公路每吨公里的运费之比为3∶5，为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省，D点应改在何处？分析：设参数并找出其与总运费y之间的函数关系再求最值取到时D点的位置。解法一：设总运费为y，铁路每吨公里运费为3k，公路每吨公里运费为5k，其中k为正常数，

8、设∠ADC=a，则AD=20ctga,BD=100-20ctga，CD=，则y=5k·+3k(100-20ctga)=20k()+300k(k>0,k为常数)令P=记　tg=t(t>0)故cosa=,sina=.∴P=+4t≥4(t≥0).当且仅当=4t,t=时，P取最小值4，即tg=,tga=.∴AD=ACctga=20×=15(公里）当D点