2011年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

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1、智浪教育--普惠英才文库2011年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题(每小题6分,共36分)1.答案:B.解析:不等式成立的充要条件是,故充分而不必要的条件选B。2.答案:D.解析:本题应知“共线,等价于存在使且”。故选D。3.答案:A.解析:由,知,所以,即是周期函数,周期为6.所以.选A.4.答案:C.解析:由已知可得,又由②-③得,代入①得,从而,再代入②,得.故选C.5.答案:D.解析:令,,,在上,为减函数,为增函数.要使上为减函数,应为增函数,故.为了保证在[-1,1]上恒成立,只需,即.因此,.故选D.6.答案:C.解析:

2、由得,又,中必有一个是正整数,且,故.选C.4智浪教育--普惠英才文库二、填空题(每小题9分,共54分)1.答案:250.解析:因为,,所以.又,。所以,当时,,;当时,,.所以.故.2.答案:.解析:易得,设,,要使,只需、在区间上的图象均在轴下方,其充要条件是,,,由此推出3.答案:.解析:由,知.设,则由题意有,解得,所以.4.答案:92.解析:易知,所以不是最大的.数列的最大项应满足,从而有,即.由①式可得,由②式可用反证法证得.因此,当取得最大值时.5.答案:.解析:由已知有,设,则.因在上单调递增,故,.4智浪教育--普惠英才文库6.答案:

3、或.解析:设,记,其中含有个,则,以此类推有由题设可知且所以或即或。三、解:由已知等式有,由正弦定理得,即:                 ……5分从而有所以(舍去).     ……10分又因,由正弦定理得.而,代入②,得    ……15分,从而有(舍去)或,所以,.    ……20分四、解:将代入,得,从而方程的两根分别为1、4,且由题设可知,方程的两根为正实数.……5分若4是该等比数列的第2项,则方程的两根应为16、64,这不符合韦达定理;若4是该等比数列的第4项,不符合韦达定理;……10分4智浪教育--普惠英才文库若4是该等比数列的第3项,则方

4、程的两根应为2、8,符合韦达定理,此时.    ……15分同理,将代入,得,从而方程的两根分别为1、9,均不合题意.……20分五、解:易知的反函数是,……5分于是由题意,有.而,所以,即,等价于……10分由(1),得,所以有判别式≥0.当时,即时,方程有且只有一个实数解,满足条件要求;……15分当,即时,方程有两个相异实根:,.易见,满足要求.要使不满足要求,应有,解得.综合上述,可知当或时有且只有一个实数满足条件.……20分4

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