2010年高考数学重点难点讲解十:函数图象

2010年高考数学重点难点讲解十:函数图象

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1、雨竹林高考难点10函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是研究和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,考生要掌握绘制函数图象的一般方法,掌握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象研究函数的性质.●难点磁场(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,求b的范围.●案例探究[例1]对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a-x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2-x),且

2、方程f(x)=0恰好有四个不同实根,求这些实根之和.命题意图:本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.知识依托:把证明图象对称问题转化到点的对称问题.错解分析:找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化.技巧与方法:数形结合、等价转化.(1)证明:设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点,则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x0)=f[a+(a-x0)]=f[a-(a-x0)]=f(x0)=y0,∴(2a-x0,y0)也在函数的图象上,而=a,∴点(x0,y0)与(2a-x0,y0)关于直线x=a

3、对称,故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)解:由f(2+x)=f(2-x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称,若x0是f(x)=0的根,则4-x0也是f(x)=0的根,由对称性,f(x)=0的四根之和为8.[例2]如图,点A、B、C都在函数y=的图象上,它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式;(2)比较f(a)与g(a)的大小,并证明你的结论.命题意图:本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力

4、、图形的组合等.属★★★★★级题目.知识依托:充分借助图象信息,利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.错解分析:图形面积不会拆拼.技巧与方法:数形结合、等价转化.5解:(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B=(A′A+C′C)=(),g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=.∴f(a)

5、初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主,属于必考内容之一,但近年来,在大题中也有出现,须引起重视.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)当a≠0时,y=ax+b和y=bax的图象只可能是()2.(★★★★)某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了,再走余下的路,下图中y轴表示离学校的距离,x轴表示出发后的时间,则适合题意的图形是()二、填空题3.(★★★★★)已知函数f(x)=log2(x+1),将y=f(x)的图象向左平移1个单位,再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=g(x)的图

6、象,则函数F(x)=f(x)-g(x)的最大值为_________.三、解答题4.(★★★★)如图,在函数y=lgx的图象上有A、B、C三点,它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1).(1)若△ABC面积为S,求S=f(m);5(2)判断S=f(m)的增减性.5.(★★★★)如图,函数y=

7、x

8、在x∈[-1,1]的图象上有两点A、B,AB∥Ox轴,点M(1,m)(m∈R且m>)是△ABC的BC边的中点.(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);(2)求函数S=f(t)的最大值,并求出相应的C点坐标.6.(★★★★★)已知

9、函数f(x)是y=-1(x∈R)的反函数,函数g(x)的图象与函数y=-的图象关于y轴对称,设F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数F(x)的解析式及定义域;(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直?若存在,求出A、B的坐标;若不存在,说明理由.7.(★★★★★)已知函数f1(x)=,f2(x)=x+2,(1)设y=f(x)=,试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积;(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根,求实数a的范围.(3)若f1(x)>f2(x

10、-b)的解集为[-1,],求b的值.8.(★★★★★)设函数f(x)=x+的图象为C1,C1关

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