1.3.2函数的极值与导数(2)

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1、英格教育文化有限公司http://www.e-l-e.net.cn全新课标理念，优质课程资源§1.3.2函数的极值与导数（2）【学习目标】熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用．【学习重点】极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握．【学习难点】求可导函数的极值．【课堂过程】一、复习引入：1．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x)．②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间．③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间．2．极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f

2、(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点．3．极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点．4．极大值与极小值统称为极值，注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ

3、）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．5．判别f(x0)是极大、极小值的方法：若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．6．求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)=0的根；

4、(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值．二、讲解范例：例1对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C．充要条件．由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件．由极大值点的定义，任意x＜x0，f(x)＜f(x0)．学习方法报社第5页共5页英格教育文化有

5、限公司http://www.e-l-e.net.cn全新课标理念，优质课程资源所以左侧是增函数，所以f′(x)＞0，任意x＞x0，f(x)＜f(x0)．所以右侧是减函数，所以f′(x)＜0，所以x0两侧的导数异号．当x0是极小值时，同样可以证明．例2下列函数中，x=0是极值点的函数是(B)A．y=－x3B．y=cos2xC．y=tanx－xD．y=分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x=0是否是极值点，只要看x=0点两侧的导数是否异号就可以了．解：A．y=－x3，∵y′=(－x3)′=－3x2，当x＜0或x＞0时，y′

6、＜0，∴x=0不是极值点．B．y=cos2x．∵y′=(cos2x)′=2cosx(－sinx)=－sin2x．当x＜0时，－sin2x＞0，y′＞0．当x＞0时，－sin2x＜0，y′＜0．∴x=0是y=cos2x的极大值点．C．y=tanx－x，y′=(tanx－x)′=－1,当x＜0或x＞0时，0＜cos2x＜1，y′＞0．∴x=0不是极值点．D．y=．y′=()′=－,当x＜0或x＞0时y′＜0，∴x=0不是极值点，故选B．例3下列说法正确的是(C)A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大．B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值．C．对于f(x)=x

7、3+px2+2x+1，若｜p｜＜，则f(x)无极值．D．函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值．答案：C．∵f(x)=x3+px2+2x+1．∴f′(x)=3x2+2px+2．∵Δ=4p2－4×3×2=4(p2－6)．若｜p｜＜．则Δ＜0，∴f′(x)=0无实根，即f′(x)＞0，∴f(x)无极值．选项A、B、D可以通过举出反例说明是假命题．例4函数f(x)=asinx+sin3x在x=处具有极值，求a的值．分析：f(x)在x=处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，f′()=0可求出a的值．解：f′(x)=(asinx+sin3x)′=acosx+c

8、os3x∵f′()=0，∴a·cos+cos3×=0