函数的增减性、函数的奇偶性

《函数的增减性、函数的奇偶性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、本周内容：函数的增减性、函数的奇偶性　　重点难点分析：　　1．不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，例如y=3x的单调区间(-∞,+∞)不可以写成(-∞,0]和[0,+∞)，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来。例如y=的单调递减区间是(-∞,0)和(0,+∞)，而不能写成x∈R且x≠0。　　2．设y=f(u),u=g(x)，复合函数y=f[g(x)]的增减性有下面二种情况：　　（1）若u=g(x),y=f(u)在所讨论区间上都是递增或递减的，则y=f[g(x)]在该区间上为增函数。　　（2）若u=g(x),

2、y=f(u)，在所讨论区间上一个是递增的，另一个是递减的，则y=f[g(x)]在该区间上为减函数。　　3．奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义在对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程，所以，只要出现以下两种情况之一，函数就不是偶函数或奇函数：　　（1）定义域不是关于原点对称的区间　　（2）f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式。　　典型例题：　　例1．求y=loga(-2x2+x+3)的递减区间　　解

3、：令u=-2x2+x+3>0得定义域为(-1,),　　∵u=-2(x-)2+3,x∈(-1,),　　当x∈(-1,]时，u=-2x2+x+3为增函数，　　当x∈[,)时，u=-2x2+x+3为减函数。　　（1）如果a>1，则y=logau为增函数，y=loga(-2x2+x+3)的递减区间为[,)。　　（2）如果00)在区间(0,+∞)上的单调性，并证明。　　解：任取x1,x2∈(0,+∞)且x1

4、1,1-<0,　　此时(*)>0，f(x1)>f(x2),　f(x)在(0,]上是减函数。　　(2)当x1,x2∈[,+∞)时，x1x2>a,0<<1,　　1->0，此时(*)<0,f(x1)0,a>0,根

5、据均值不等式∴x+，当且仅当x=时取等号，即y最小。所以在x=时函数图像是最低的，即函数图像从左向右是先降后升的，转折点是x=，可以自己画出函数草图。　　例3．求y=cos(-2x)递增区间。　　解：方法(1)设u=-2x,y=cosu,　　∵u=-2x+为减函数，∴只需求y=cosu的递减区间，　　2kπ≤-2x≤π+2kπ　(k∈Z)　　2kπ-≤-2x≤+2kπ　　-kπ+≥x≥--kπ。　　∵-k与k等效，∴kπ-≤x≤kπ+。　　图示：　　　　　　　　　方法(2)，∵cosu为偶函数，∴y=cos(2x-)

6、u=2x-为增函数。　　∴只需求y=cosu递减区间，　　2kπ+π≤2x-≤2kπ+2π　　2kπ+≤2x≤2kπ+　　kπ+≤x≤kπ+。　　图示：　　　　　　　　　说明：形式不同，但区间相同。但更多是用方法(2)，容易理解并且不易出错。　　例4．定义在(-2,2)上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1-m)

7、x

8、)，　　g(1-m)

9、1-m

10、)

11、

12、m

13、)　　由已知得：　　(1):-1m2　　m<，∴-1

14、R上的奇函数，x>0时，f(x)=x-lg

15、x

16、，当x<0时，求f(x)解析式。　　解：当x<0时，-x>0，∵f(x)奇函数，　　∴f(x)=-f(-x)　　　　　=-[(-x)-lg

17、-x

18、]　　　　　=-(-x-lg

19、x

20、)　　　　　=x+lg

21、x

22、　　本周练习：　　一填空题：　　1．函数y=(-x2+2x+3)单调递增区间是______