统计技术和抽样技术

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1、第二章统计技术和抽样技术第二章统计技术和抽样技术第一节统计技术基本概念一、随机变量的基本概念1、事件和随机事件观测或试验的一种结果，称为一个事件。例如：明天的天气是晴天、阴天还是雨天，这三种可能性中的每一种都称为事件。又如：测量工件的直径所得的结果为9.91mm，9.92mm，9.93mm…，这里每个可能出现的测量结果都称为事件。与测量结果相联系的不确定度是事件；若工作直径的真值已知，则相应的每一个误差也称为事件。在客观世界中，我们可以把事件大致分为确定性和不确定性两类。向上抛一石子必然下落，纯水在标准大气压下加热到100℃时必然沸腾等，均属肯定事件或确定性

2、事件。抛掷一枚硬币的结果可能正面朝上、也可能反面朝上，打靶的结果可能射中，也可能射不中等，均属可疑事件或不确定性事件。确定性事件有着内在的规律，这一点我们比较容易看到和处理。而对于不确定性事件，虽然就每次观测或试验结果来看是可疑的，但在大量重复观测或试验下却呈现某种规律性（统计规律性）。例如：多次重复抛掷一枚硬币，会发现正面朝上与反面朝上的次数大致相等。概率论和数理统计就是从两个不同侧面，来研究这类不确定性事件的统计规律性。在概率统计中，把客观世界可能的事件区分为最典型的三种情况：①必然事件。在一定条件下必然出现的事件，例如工件直径的测量结果为正，是必然事件

3、。②不可能事件。在一定条件下不可能出现的事件，例如工件直径的测量结果为零或负值，都是不可能事件。③随机事件。在一定条件下可能出现也可能不出现的事件，例如工件直径的测量结果出现在9.91mm与9.92mm之间，是一个随机事件。随机事件即是随机现象的某种结果。2、随机变量如果某一量（例如测量结果）在一定条件下，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件，则这样的量称作随机变量。随机变量不同于其他变量，其特点是以一定的概率在一定的区间上取值或取某一个固定值。例如：工件直径的测量结果在（9.90～9.92mm）区间上取值的概率为0.9。由前所述可知，测量结果及其不确定

4、度均为随机变量。随机变量根据其取值的特征可以分为两种：①连续型随机变量。若随机变量X可在坐标轴上某一区间内取任一数值，即取值布满区间或整个实数轴，则称X为连续型随机变量。例如：重复测量工件直径中所得的一组观测值属于连续型随机变量。②离散型随机变量。若随机变量X的取值可离散地排列为x1，x2…，而且X以各种确定的概率取这些不同的值，即只取有限个或可数个实数值，则称X为离散型随机变量。例如：在取有效数字的位数时，数字的舍入误差属于离散型随机变量。3、事件的概率随机事件的特点是：在一次观测或试验中，它可能出现、也可能不出现，但是在大量重复的观测或试验中呈现统计规律

5、性。例如：在连续n次独立试验中，事件A发生了m2-17第二章统计技术和抽样技术次，m称为事件的频数，m/n则称为事件的相对频数或频率，当n极大时，频率m/n稳定地趋于某一个常数p，此常数p称为事件A的概率，记为P（A）=p。这就是概率的古典定义。概率p是用以度量随机事件A出现的可能性大小的数值。必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率P（A）为0≤P（A）≤1。所以，必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情况或特例。概率可以通过一定的法则进行运算。4、分布函数随机变量的特点是以一定的概率取值，但并不是所有的观测或试验都能以一定的概率取某一个

6、固定值。例如：重复测量某圆柱体直径时，作为被测量最佳估计值的测量结果是随机变量，记为X，它所取的可能值是充满某一个区间的（并非某一个固定值），此时人们所关心的问题是：它落在该区间的概率是多少？即P[a≤X≤b]=?根据概率加法定理有P[a≤X≤b]=P[X＜b]－P[X＜a]显然，只要求出P[X＜b]及P[X＜a]即可，这要比求P[a≤X≤b]简便得多，因为它们只依赖于一个参数。对于任何实数x，事件[X＜x]的概率当然是一个x的函数。令F（x）=P[X＜x]，显然有F（－∞）=0，F（+∞）=+1，这里F（x）即为随机变量X的分布函数。所以，分布函数F（x）

7、完全决定了事件[a≤X≤b]的概念，或者说分布函数F（x）完整地描述了随机变量X的统计特性。二、随机变量的数字特征利用分布函数可以完全确定一个随机变量，但在实际问题中求分布函数不仅十分困难，而且常常没有必要。例如：测量零件的长度得到了一系列的观测值，人们往往只需要知道零件长度这个随机变量的一些特征量就够了，诸如长度的平均值（近似地代表长度的真值）及测量标准（偏）差（观测值对平均值的分散程度）。用一些数字来描述随机变量的主要特征，显然十分方便、直观、实用，在概率论和数理统计中就称它们为随机变量的数字特征。这些特征量有数字期望、方差、矩等。1、数学期望随机变量X

8、的数学期望值记为E（X）或简记为μx，用它可以表示随