微积分极限法问题详析

《微积分极限法问题详析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、微积分极限法问题详析沈卫国（西北工业大学前逻辑与人工智能研究所，西安710072）摘要：为了解决牛顿、莱布尼兹求导法所产生的贝克莱悖论问题，微积分极限法（标准分析）被提出。但后者成立的前提是这个极限必须存在。笔者经分析得到结论，增量比值函数在0点的极限与函数值一样，也不存在。于是极限法并没有也不可能解决根本问题。此问题的解决，必须要有新的思想。关键词：微积分；极限；增量比值函数；贝克莱悖论；导数微积分极限法（标准分析）的提出是为了解决（而且通常也被“主流”看法认为已经解决）牛顿、莱布尼兹求导法产生的贝克莱悖论的。在极限存在

2、的前提下，单纯从逻辑上讲，这没有问题。但它显然没有回答既然这个增量比值函数在0点的极限值永不可达、只能无限接近，那么，我们是如何得到或“达到”这个永不可达的极限值的？此外，作为一个永远不能被实际“达到”、“取值”的极限值（只可以无限逼近），为什么它又可以作为一个“实体”参与各种实际计算的？就好像它已经被实际“达到”了一样。更何况极限法的全部合理性，彻底依赖于这个极限在0点的存在性。过去包括笔者在内的所有文献，均未见对此提出异议。但在此文中，笔者经分析发现，增量的比值函数在0点的极限根本就不存在，于是极限法赖以成立的依据就不

3、存在了。以往那种本来就很牵强的以极限值（尽管还是永不可达的）取代增量比值函数在0点本无定义的函数值（为0/0）的做法也随之彻底不能成立了。笔者在【文献26】围绕该文中的公式11也就是下面的公式1，已经对此进行了讨论，实际上几乎已经得到正确的结论了，但可惜尚未明确。下面详细分析这个问题。上面公式1就是极限法求导数的最经典的式子。由此式右数第二个等号两边可知，当△x趋于0时，其自身也就是△x本身明确等于0。由此上式中左数第一个等号的右边项，只能等于0/0。因为同理，当△x趋于0时，此项无论分子还是分母中的△x均为0，也就是当△

4、x趋于0时，整个比式的极限为0/0，也就是没有极限。或该比式在△x等于0时根本就不存在有意义的极限值。而此项是导数的直接定义式，其“优先级”显然高于上式中左数第二个等号右边那项，也就是后者必须无条件地“服从”其本源式本身所具有的、或由此为其所限定的前提条件（二者显然必须一致，等式才能严格成立。而此处在求极限前已经事先进行了消去分母中的△x操作，而这个额外的操作显然有意无意间等于人为取消了原导数定义式在△x趋于0时根本就没有极限值的基本事实，因此就求极限而言，只能认为是无效的）。而事实上严格地说，式1左数第二个等号根本就不成

5、立，因为其等号两边并不严格相等，只是有条件地相等。而一个必须附加限制条件才能成立的等式，却不去或没有注明这个条件，该等式严格说是不能成立的，是错的。在这个具体问题上，就是：因为分母上的△x被人为地拿掉了，于是原本不允许为0的△x，可以为0了。如此差别，怎么可以划等号？这在数学上不是什么有失严格的问题，干脆说就是错的。除非不但要附加上限制条件：△x≠0，而且还要特别要强调：必须还要充分地“尊重”其“本源”式即公式1中左数第一个等号的右边项没有极限(或极限为0/0）这一点，加上在△x=0时没有极限这个限制条件（新发现的），等式

6、才可成立。而如此一来，公式1右数第二个等号左边的△x趋于0时右边的△x等于0还能成立吗？因为此项早有限制条件△x不能为0在先了（在公式1左数第二个等号严格成立的前提下）。因此，也得不到最后的极限值2x。它只能是个“伪极限”。于是，皮之不存毛将焉附？极限都没有了，还有什么极限法？还有什么建立其上的“标准分析”？如果硬要说最后得到的2x是个极限值，那也是另一个函数（尽管与原增量比值函数在非0点完全一样）的极限，而绝不是原增量比值函数的极限（式1左数第一个等号的右项）。于是传统的所谓极限法（标准分析）的本质，不过是把一个本不是原

7、增量比值函数的“极限值”（对这个“增量比值函数”而言，可以说是个“伪极限”）去充当根本就没有极限值（△x趋于0时）的原增量比值函数的所谓极限值。这当然不应被允许。总之，极限原式也就是公式1左数第一个等号的右边项，显然具有两个“特性”：比值特性和分子、分母共同趋0（尽管0点无值）特性。但公式1左数第二个等号的右边项却只剩下比值特性了（0点有值），“分子、分母共同趋0特性”被有意无意地“丢失”或“隐匿”了。显然，由公式1左数第二个等号相连接的这两个式子并不等价，相较于左边而言，右边丢失了关键信息，所以等号右边不能取代左边，等号

8、严格讲必须换成不等号。而作为导数的定义式，显然左边的比值式（分母有△x）才是所有讨论必须依赖的出发点。此处，我们可以再梳理一下传统微积分极限法（标准分析）在求导问题上的具体做法，以看清其运作的本质：1、承认牛顿、莱布尼茨法会产生贝克莱悖论；2、为了解决这个悖论，传统极限法（标准分析）首先“悄悄地”或无意