求二阶线性非其次微分方程通解的方法

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1、求二阶线性常系数非齐次微分方程通解的方法摘要：二阶线性常系数非齐次微分方程在常微分方程的理论和应用中占有重要地位，本文提出了三种解法。一种是课本介绍的常数变易法，先求得对应的齐次微分方程的基本解组，然后求非齐次方程的通解；第二种是对某些特殊类型的非齐次方程，可以运用比较系数法方便求解；第三种是在先求得对应的齐次微分方程一个特解的情况下，将二阶线性常系数非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程，得出了一种运算量较小的二阶线性常系数非齐次微分方程通解的一般公式，并用实例证明该方法是可行的。关键词：二阶常系数非齐次微分方程;通解；特解；基本解组

2、1.引言微分方程和日常生活联系是比较紧密的，在一些天文学、力学、人口发展模型、交通流模型等的求解过程中，经常会导出微分方程。而二阶常系数线性微分方程作为一类最基础最重要的微分方程，探讨求出它通解的方法就显得至关重要。本文给出的三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法中，常数变易法和降阶法可方便地求出一般方程通解，但要求被积函数可积，当被积函数不可积时可采用数值解法，本文不作详述。2.二阶线性常系数非齐次微分方程设二阶线性常系数非齐次微分方程：(1)其中为实常数,为其定义域内连续函数。则方程(1)对应的齐次线性方程为：(2)本文给出了

3、三种求解二阶线性常系数非齐次微分方程的方法：2.1常数变易法由线性微分方程的相关知识可知，如果已知(1)对应的齐次线性微分方程(2)的基本解组，那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到。因此，求非齐次线性微分方程(1)的通解，关键是求出齐次线性微分方程的基本解组。下面介绍的常数变易法对于高阶线性常系数非齐次微分方程也适用。考虑阶线性常系数非齐次微分方程：(3)2.1.1求基本解组对于常系数线性微分方程(3)，有一种求基本解组的方法——欧拉待定指数函数法（又称为特征根法）。阶齐次微分方程：(4)的特征方程为：(5)该方程的根即为特征根

4、，下面根据特征根的不同情况分别简述：①特征根是单根的情形：设是特征方程(5)的个互不相同的根，则(4)有基本解组，即(4)的通解可以表示为：，其中任意常数。（注：如果特征方程有一对共轭复根，则该复根对应两个实值解）②特征根有重根的情形：设特征根是特征方程(5)的k重特征根，则对应该特征根，阶齐次微分方程(4)有解,所有解的线性组合即为齐次方程(4)的通解。（注：对应重特征根，方程(4)有实值解）2.1.2用常数变易法求原非齐次方程通解设由上述1.1.1的方法解得的基本解组为，则(4)的通解为，将常数当作关于的函数，把代入原非齐次方程(

5、3)，按照教材所介绍方法再构造个约束条件，这样可得到含个未知数的个方程，它们组成一个线性代数方程组:该方程组系数行列式即为朗斯基行列式，它不等于零，因而方程组的解可唯一确定，那么原非齐次方程(3)的通解也随之确定。2.2比较系数法对常系数非齐次线性微分方程：(6)当具有某些特殊形状时可用比较系数法求解，其特点是不需要通过积分而用代数方法即可求得非齐次线性微分方程的特解，比较简单方便。然后由上面介绍的特征根法求出对应齐次方程的通解，由非齐次线性微分方程通解结构定理即可求出非齐次方程(6)的通解，即(6)的通解等于(6)的一特解与对应齐次

6、方程的通解之和，因此关键是求出该方程某一特解。下面分为两种类型简述求特解的方法：①设，其中及为实常数，那么方程(6)有形如：(7)的特解，其中k为特征根的重数（单根相当于k=1；当不是特征根时，取k=0），是待定常数，可以通过比较系数法来确定。②设，其中为常数，而是带实系数的x的多项式，其中一个次数为m，另一个次数不超过m，那么方程(6)有形如：(8)的特解，这里k为特征根的重数，而为待定的带实系数的次数不高于m的x的多项式，可以通过比较系数法来确定。2.3降阶法设方程(1)的通解为，即寻找两个函数，,使得为方程(1)的通解。则，将代

7、入(1)化简得：(9)在(9)中不妨令：=0(10)显然(10)为二阶常系数齐次线性微分方程，此时可取(11)即可，其中为方程(10)的特征方程的一个特征根。将(10)和(11)代入(9)化简得：(12)方程(12)为可降价的微分方程，利用可降价的微分方程的求解方法可求得通解。下面简述线性微分方程的降阶法的两个定理：定理1：设是二阶常系数非齐次线性微分方程(1)对应的齐次微分方程(2)的一个特解，即，那么(1)的解可表示为：(13)定理2：设(14)是n阶线性常系数齐次微分方程，其中为已知常数。那么方程(14)存在一个特解，其中是方程

8、(14)的特征方程的一个根。再来看上述方程(12)，其对应的齐次方程为：(15)显然方程(15)的特征方程有一个特征根,由定理2知方程(15)有特解，再由定理1中(13)式知方程(12)的通解为：，其中为任意常数。由此得