资源描述：
《运筹学课程设计论文(三次样条,三次曲线拟合)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、湖南农业大学综合设计报告综合设计五龙格函数的插值和拟合学生姓名：刘桂学号：200940204207年级专业：2009级信息与计算科学1班指导老师：杨婧讲师学院：理学院评阅成绩：评阅意见：成绩评定教师签名：时间：湖南·长沙提交日期：2012年6月龙格函数的插值和拟合1设计目的、要求对龙格函数在区间[-1,1]上取的等距节点，分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合，画出及各逼近函数的图形，比较各结果。2设计原理（1）多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项式，即：表示待插值函数的个节点，，其中；（2）三次样条插值：三次
2、样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条件下的样条插值，即两端一阶导数已知的插值方法：（3）三次曲线拟合：本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中，n=10，故有11个点，以这11个点的和值为已知数据，进行三次多项式拟合，设该多项式为，该拟合曲线只需的值最小即可。3采用软件、设备计算机、matlab软件4设计内容1、多项式插值：在区间上取的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值，并利用matlab软件建立m函数，画出其图
3、形。在matlab中建立一个lagrange.m文件，里面代码如下：%lagrange函数functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end建立一个polynomial.m文件，用于多项式插值的实现，代码如下：%lagrange插值x=[-1:0.2:1];y=1./(1+25*x
4、.^2);x0=[-1:0.02:1];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+25*x0.^2);plot(x0,y0,'--r')%插值曲线holdon%原曲线plot(x0,y1,'-b')运行duoxiangshi.m文件，得到如下图形：1、三次样条插值：所谓三次样条插值多项式是一种分段函数，它在节点分成的每个小区间上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：因此，只要确定了的值，就确定了整个表达式，的计算方法如下：令：则满足如下个方程：对于第一种边界条件下有如果令那么解就可以为求函数的二阶导数：>>symsx>>f=sy
5、m(1/(1+25*x^2))f=1/(1+25*x^2)>>diff(f)ans=-(50*x)/(25*x^2+1)^2将函数的两个端点，代入上面的式子中：f’(-1)=0.0740f’(1)=-0.0740求出从-1到1的n=10的等距节点，对应的x，y值对应m文件代码如下：forx=-1:0.2:1y=1/(1+25*x^2)endy=得出x=-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81y=0.03850.05880.10.20.510.50.20.10.05880.0385编写m文件Three_Spline.mx=l
6、inspace(-1,1,11);y=1./(1+25*x.^2);[m,p]=scyt1(x,y,0.0740,-0.0740);holdonx0=-1:0.01:1;y0=1./(1+25*x0.^2);plot(x0,y0,'--b')得到如下图像：.其中蓝色曲线为原图，红色曲线为拟合后的图像。1、三次曲线拟合：这里我们使用最小二乘法的3次拟合建立一个Three_fitting.m文件，代码如下：%主要代码x=[-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81];y=[0.03850.05880.10.20.510.50.2
7、0.10.05880.0385];a=polyfit(x,y,3);x1=[-1:0.01:1];y1=a(4)+a(3)*x1+a(2)*x1.^2+a(1)*x1.^3;x0=[-1:0.01:1];y0=1./(1+25*x0.^2)%原曲线plot(x0,y0,'-r')holdon%三次拟合曲线plot(x1,y1,'-b')上图中，蓝色部分为三次拟合曲线，红色部分为原曲线6结果分析拉格朗日插值的优点是对于某一区域，不限于被估计点周围，公式简单易实施。一般认为n的次数越高，逼近的精度就越好，但在本题中，对龙格函数，中间部分插值效果比较好
8、，而对于两端，插值结果是非常不理想的，即龙格现象。样条函数可以给出光滑的插值曲线，从本题中就能体现出来。从以上图形可以看出，三次样条插值
