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《2019版一轮优化探究理数第五章 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例练习》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习一、填空题1.已知点A(-1,0)、B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为________.解析:=(2,3),a=(2k-1,2),由⊥a得2×(2k-1)+6=0,解得k=-1.答案:-12.已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),则△ABC的形状是________.解析:=(1,1),=(-3,3),知·=0,故△ABC是直角三角形.答案:直角三角形3.设O为△ABC的外心,OD⊥BC于D,且
2、
3、=,
4、
5、=1,则·(-)的值是________.解析:由已知,D为BC的中点,=(+),∴·(-)=(+)·(-)=
6、(
7、
8、2-
9、
10、2)=1.答案:14.设向量a=(cos55°,sin55°),b=(cos25°,sin25°),若t是实数,则
11、a-tb
12、的最小值为________.解析:因为
13、a-tb
14、===,而a·b=(cos55°,sin55°)·(cos25°,sin25°)=cos55°×cos25°+sin55°×sin25°=cos(55°-25°)=,所以
15、a-tb
16、==5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习=,故
17、a-tb
18、的最小值为.答案:5.已知
19、a
20、=6,
21、b
22、=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是________.解析:a·b为向量b的模与向量a在向量b方向
23、上的投影的乘积,而cos〈a,b〉==-,∴
24、a
25、·cos〈a,b〉=6×(-)=-4.答案:-46.已知i与j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是________.解析:a·b=(i-2j)·(i+λj)=1-2λ>0,λ<,又a、b同向共线时,a·b>0,∴a=kb(k>0),i-2j=k(i+λj),∴∴λ=-2,∴a、b夹角为锐角的λ的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,).答案:(-∞,-2)∪(-2,)7.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若·=·=1,那么c=________.解析:由题知·+·=2,即·
26、-·=·(+)=()2=2⇒c=
27、
28、=.答案:8.已知单位向量a,b满足
29、ka+b
30、=
31、a-kb
32、(k>0),则a·b的最小值为________.5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习解析:把
33、ka+b
34、=
35、a-kb
36、两边平方并化简得a·b==(k+)≥(∵k>0).故a·b的最小值为.答案:9.已知△ABO三顶点坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,且满足·≤0,·≥0,则·的最小值为________.解析:由已知得(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0,且(x,y-2)·(0,2)=2(y-2)≥0,即x≤1且y≥2,所以·=(x,y)·(
37、-1,2)=-x+2y≥-1+4=3.答案:3二、解答题10.已知向量a=(cosλθ,cos(10-λ)θ),b=(sin(10-λ)θ,sinλθ),λ,θ∈R.(1)求
38、a
39、2+
40、b
41、2的值;(2)若a⊥b,求θ;(3)若θ=,求证:a∥b.解析:(1)因为
42、a
43、=,
44、b
45、=,所以
46、a
47、2+
48、b
49、2=2.(2)因为a⊥b,所以cosλθ·sin(10-λ)θ+cos(10-λ)θ·sinλθ=0.所以sin[(10-λ)θ+λθ]=0,所以sin10θ=0,所以10θ=kπ,k∈Z,所以θ=,k∈Z.(3)证明:因为θ=,所以5苏教版2019版高三数学一轮优化探究练习cosλθ·s
50、inλθ-cos(10-λ)θ·sin(10-λ)θ=cos·sin-cos(-)·sin(-)=cos·sin-sin·cos=0,所以a∥b.11.设两个向量e1、e2满足
51、e1
52、=2,
53、e2
54、=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的范围.解析:由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得<0,即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化简即得2t2+15t+7<0,解得-755、1+te2),λ<0,可得,∴.因此所求实数t的范围是(-7,-)∪(-,-).12.已知向量a=(cosx,sinx),b=(sin2x,1-cos2x),c=(0,1),x∈(0,π).(1)向量a,b是否共线?并说明理由;(2)求函数f(x)=
56、b
57、-(a+b)·c的最大值.解析:(1)b=(sin2x,1-cos2x)=(2sinxcosx,2sin2x)=2sinx(cosx,sinx)=2sinx·a,且
58、a
59、=1,即a